Un subconjunto maximal de a $S^2$ con respecto a una conexión de la propiedad

Question

Deje que el conjunto de $A$ ser un círculo con un acorde en la esfera de la $S^2$. Obviamente $A$ tiene la siguiente propiedad:

P: $\quad$ dos puntos Cualesquiera $a$ $b$ $A$ puede ser conectado por un camino que no encuentra otros puntos de $A$$a$$b$.

Además de $A$ es máxima, no más grande que contiene a $A$ P. Supongo que cada conjunto maximal de a $S^2$ tener P es homeomórficos a $A$ pero, ¿cómo demostrar que?

Answer 1

Como se muestra en el comentario de @Vladimir, la respuesta es "no", sin más hipótesis.

Pero bajo un razonablemente agradable aún más la hipótesis acerca de la $A$, la respuesta será "sí", es decir, si $A$ satisface lo siguiente:

(1) $A \subset S^2$ es un integrado finito gráfico, y para cada componente de $U$ $S^2-A$ hay un Jordania curva de $c \subset A$ tal que $U$ es un componente de $S^1-c$.

(Por la forma en que esta hipótesis se descarta la figura 8 de mi comentario).

Bajo la hipótesis (1) voy a probar que si $A$ satisface P, y si $A$ es maximal con respecto a P, entonces $A$ es un Jordania curva con un acorde adjunta.

Se sigue de (1) que cada punto de $A$ se encuentra en un Jordania curva contenida en $A$. También se sigue de (1) $A$ está conectado, porque de lo contrario algunos de los componentes de $S^2-A$ se ha desconectado de la frontera. Y desde $A$ es finito gráfico que está conectado unión topológico de los círculos, de ello se desprende que cualquiera de los dos puntos de $A$ mentira incrustado en un círculo en $A$, es decir, en un Jordania curva en $A$.

Escoge un Jordania curva de $c \subset A$, que existe a causa de (1). Desde $A$ es maximal con respecto a P se sigue que $A \ne c$. Los puntos de recogida $q \in c$$p \in A-c$, elija una de la curva de Jordan $c' \subset A$ contiene $p$$q$, y deje $a \subset c'$ ser la máxima compacto arco tal que $p \in a$ $a \cap c = \{x,y\}$ es el conjunto de puntos extremos de $a$. En otras palabras, $a$ es un "acorde de $c$".

Aunque es posible que $x = y$, y por lo $c \cup a$ es una "figura 8", esa posibilidad se puede descartar el uso de (1) con un argumento separado. En el momento en que me permiten centrarme en el caso de $x \ne y$.

Voy a probar que $A = c \cup a$. Los puntos de $x,y$ subdividir $c$ en dos arcos $c=c_1 \cup c_2$ entrecruzamiento sólo en sus extremos $x,y$. El conjunto $S^2 - (c \cup a)$ tiene tres componentes: el componente $U_1$ con frontier $c$; el componente $U_2$ con frontier $c_1 \cup a$; y el componente $U_3$ con frontier $c_2 \cup a$. Supongamos que $A \ne c \cup a$, y elegir un punto a $x \in A - (c \cup a)$. Voy a ir a través de los casos $x \in U_1$, $U_2$, o $U_3$ escoger un punto de $y \in A$ que es separado de $x$ por un Jordania curva contenida en $A$, y por lo tanto cualquier ruta con los extremos de $x,y$ cruces $A$ contradiciendo P. Si $x \in U_1$ $c$ separa $x$ desde cualquier $y$ en el interior de la arc $a$. Si $x \in U_2$ $c_1 \cup a$ separa $x$ desde cualquier $y$ en el interior de $c_2$. Y si $x \in U_3$ $c_2 \cup a$ separa $x$ desde cualquier $y$ en el interior de $a_1$.

En el caso de $x=y$ donde $c \cup a$ es una figura de 8, todavía hay tres componentes de $S^2 - (c \cup a)$: $U_1$ con frontier $c$; $U_2$ con frontier $c \cup a$; y $U_3$ con frontier $a$. Por un argumento similar a lo anterior, uno puede mostrar que $A \ne c \cup a$ conduce a una contradicción. Pero también se $A = c \cup a$ contradice (1) por $c \cup a$ es la frontera de $U_2$, pero no es una de la curva de Jordan.

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Por el camino, aunque la hipótesis (1) puede parecer bastante fuerte, no es un teorema de Carsten Thomassen que dice que (1) es equivalente a la aparentemente mucho más débil suposiciones acerca de $A$, a saber:

(2) $A$ es un subconjunto compacto de $S^2$;

(3) Cada punto de $A$ está en la frontera de al menos dos componentes de $S^2-A$;

(4) Para cada punto de $x \in A$ y cada componente $U$ $S^2-A$ tal que $x$ está en la frontera de la $U$, hay un continuo de incrustación $\gamma : [0,1] \to S^2$ tal que $\gamma[0,1) \subset U$$\gamma(1) = x$.

La equivalencia (1) $\iff$ (2,3,4) está comprobado por la Thomassen en su papel "a La inversa de la de la curva de Jordan y teorema de caracterización de planos mapas".