¿Dan las categorías de índices equivalentes colímites isomórficos?

Question

Imagina los funtores $F \colon J \to \mathscr{C}$ , $G \colon I \to J$ , donde $G$ es una equivalencia de categorías. Quiero saber si " $\underset{i \in I}{\text{colim}} \big(F \circ G\big)(i) = \underset{j \in J}{\text{colim}} F(j)$ ".

Para precisar un poco más esta cuestión: Los colímetros se definen como $\textit{limiting cones}$ en Saunders Mac Lanes "Categories for the working Mathematician".

A $\textit{cone with base F }$ es un par $(c, u)$ que consiste en un objeto $c \in \mathscr{C}$ y una transformación natural $u \colon F \Rightarrow \Delta_J(c) $ . Aquí $\Delta_J(c) \colon J \to \mathscr{C}$ es el functor que mapea $j \mapsto c$ y $(f \colon j \to j') \mapsto \text{id}_c$ .

A $\textit{limiting cone with base F }$ es un cono $(c,u )$ tal que para todos los demás conos $(d,v)$ con base $F$ existe un morfismo único $f \colon c \to d$ tal que $v = \Delta_J(f) \cdot u$ . Aquí $\Delta_J(f) \colon \Delta_J(c) \Rightarrow \Delta_J(d)$ es la transformación natural con $\big(\Delta_J(f)\big)_j = f$ para todos $j \in J$ .

Ahora imagina un cono limitador $(c,u)$ con base $F \circ G$ y un cono limitador $(d,v)$ con base $F$ . Mi pregunta es: ¿Existe una transformación natural $u' \colon F \Rightarrow \Delta_J(c)$ tal que $(c, u')$ es un cono limitador con base $F$ ?

Answer 1

Sí. La equivalencia es suficiente para decir que todos los diagramas en $I$ tienen sustituciones isomórficas por diagramas en $J$ , siendo estas sustituciones coherentes a través de la naturalidad. No olvides que una equivalencia natural $G: I \to J$ también tiene una equivalencia natural inversa, por lo que las dos categorías de diagramas realmente llevan los mismos datos.

Dicho de otro modo, es fácil demostrar que una equivalencia $G: I \to J$ de categorías pequeñas induce una equivalencia obvia $$ G^* : [J, \mathcal{C}] \to [I, \mathcal{C}] $$ de las categorías de funtores, por lo que los colímites coinciden.