Es intuitivamente obvio para mí que sólo dos tangentes puede ser atraído a una parábola a partir de un punto de $(a,b)$ fuera de ella, pero quiero una matemática pre-cálculo prueba de ello.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Deje que la parábola ser dado por $y=ax^2+bx+c$, y dejar que el exterior punto de ser $(x_0,y_0)$. Una línea a través de ese punto es $y=m(x-x_0)+y_0$. Para buscar intersecciones, podemos resolver la ecuación de la parábola y la recta de ecuación simultáneamente:
$$ax^2+bx+c = m(x-x_0)+y_0$$
o:
$$ax^2 + (b-m)x+(c+mx_0-y_0)=0$$
Si la línea es tangente a la parábola, entonces esta ecuación tiene exactamente una solución, lo que significa que su discriminante debe ser igual a $0$. El discriminante es:
$$B^2-4AC = (b-m)^2-4a(c+mx_0-y_0)$$
La configuración de este igual a $0$, y teniendo en $m$ como nuestra variable, obtenemos:
$$m^2 - (2b + 4ax_0)m + (b^2 - 4ac + 4ay_0)=0$$
Ser cuadrática, esta ecuación puede tener, como máximo, dos soluciones para $m$.
Hace que el trabajo para usted?
Como una nota del lado, que el final cuadrática también podría tener una solución, o no soluciones. Estas situaciones corresponden a los casos en que $(x_0,y_0)$ es en realidad en la parábola, o, respectivamente, en el interior de la parábola.
aprado
Puntos
1
Decir $\ell :ax+by+c=0$ es tangente a (dado) parábola $y^2=2px$. Estamos buscando para $a,b,c$, no todos los $0$, determinado $p\ne 0$. Podemos suponer $a=1$. Entonces la ecuación cuadrática
$$y^2+2pby+2pc =0$$ must have only one solution on $y$, so $D=0$ y obtenemos
$$ 4p^2b^2-8pc =0$$ so $pb^2 = 2c\;\;\;(*)$. Since the point $T(x_0,y_0)$ is on tangent we have $c=-x_0-by_0$. Pluging in to $(*)$ tenemos: $$ pb^2 = -2x_0-2by_0$$
Por lo que esta ecuación es cuadrática en $b$, por lo que tiene más de dos solución y así tenemos que en la mayoría de los 2 tangentes (no importa donde $T$ mentiras).
