Vandermond matriz de generalización para no entero grados

Question

Para un $n \times n$ matriz de Vandermonde $$V:=\begin{bmatrix}1 & c_1 & c_1^2 & \cdots & c_1^{n-1} \\ 1 & c_2 & c_2^2 & \cdots & c_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & c_n & c_n^2 & \cdots & c_n^{n-1}\end{bmatrix}$$ we know that it is nonsingular if and only if $c_i \ne c_j$ for $i\ne j$.

Tengo curiosidad de saber si esta propiedad puede ser generalizada para no entero grados. Supongamos que tengo un $n \times n$ matriz $$W:=\begin{bmatrix}c_1^{d_1} & c_1^{d_2} & c_1^{d_3} & \cdots & c_1^{d_n} \\ c_2^{d_1} & c_2^{d_2} & c_2^{d_3} & \cdots & c_2^{d_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_n^{d_1} & c_n^{d_2} & c_n^{d_3} & \cdots & c_n^{d_n}\end{bmatrix}.$$ Is it true that $W$ is nonsingular if and only if $c_i \ne c_j$ for $i\ne j$? If it matters, then I consider complex values for $c_i$ and real values for $d_i$.

Si (como supongo) es algo bien conocido, podría usted, por favor, dame una referencia?

Actualización: Obviamente, supongo que $c_i \ne 0$ todos los $i$. También vamos a suponer que $d_i \ne d_j$$i \ne j$.

Actualización 2: he probado la siguiente condición: para todos los $d_k\ne 0$ tenemos $c_i^{d_k} \ne c_j^{d_k}$$i \ne j$. No funciona. En realidad, para $n=2$ la condición es $c_1^{d_2-d_1} \ne c_2^{d_2-d_1}$. Este es satisfecho, en particular, para $|c_1| \ne |c_2|$.

Actualización 3: tengo el siguiente intuición. Deje $\Delta_{ij}:=d_i-d_j$. La hipótesis: si para todas las $i\ne j$ tenemos $c_k^{\Delta_{ij}} \ne c_l^{\Delta_{ij}}$$k\ne l$,$\det{W} \ne 0$. Para un entero $d$ tenemos exactamente el Vandermond condición.

Answer 1

Creo que tengo una solución parcial: supongamos que todos los $c_k$ son distincts y $>0$, y que el $d_k$ son distintos y real. A continuación, la generalizada determinante no es $0$. Os dejo el caso de $n=2$, a continuación, se procede por inducción.

El punto clave es la siguiente: si tenemos una expresión de la forma

$$f(x)=\sum_{k=1}^n u_k\exp(v_kx)$$ con todas las $v_k$ distincts, y si $f$ $n$ distintos ceros $w_1<..<w_n$, $f=0$ (y todos los coeficientes $u_k$ son cero). Para ver por qué, el caso de $n=1$ es trivial, y proceder por inducción, multiplicando $f$$\exp(-v_1x)$, y el uso que la derivada de $f$ tiene un cero en $]w_k, w_{k+1}[$$1\leq k\leq n-1$.

Ahora volvemos a la determinante; escribimos los términos en la última línea en la forma $\exp(d_k\log c_n)$, reemplazamos $\log c_n$$x$, y desarrollando con respecto a la última línea, se obtiene una expresión de la forma $$W(x)=\sum_{k=1}^n b_k\exp(d_kx)$$

Tenga en cuenta que $b_n$ es el determinante construido con el $c_k$ e las $d_k$$k\leq n-1$. Por la hipótesis de inducción, tenemos $b_n\not =0$.

Ahora, obviamente, $W(\log c_k)=0$$k=1,\cdots,n-1$. Supongamos, además, que los $W(\log c_n)=0$. Esto una contradicción con la propiedad de arriba, y hemos terminado.

Answer 2

Ya en el caso de $n=2$ la respuesta es no: para $l>1$

$$\mathrm{det}\left(\begin{matrix} 1 & a^l \\ 1 & b^l \end{de la matriz} \right)=b^l-^{l}$$ is zero whenever $b/a$ is an $l$th root of $1$.

No hay ninguna razón para esperar que la respuesta sea sí para cualquier clase de ejemplos mucho más grande que el Vandermonde determinantes. Por ejemplo, ya para ejemplos procedentes de monomio los grupos de reflexión (la Vandermonde correspondiente al grupo simétrico) la respuesta es no.