probar que una función de $\Bbb R^2$ $\Bbb R^2$es surjective

Question

Deje $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ ser una función continua tal que $|f(x) - x| < 2017 \space$ $\forall$ $x\in \Bbb R^2$.
demostrar que $f$ es surjective.

por favor me ayude a probar esta afirmación.
muchas gracias.

Answer 1

Definir $g:B(0,2017)\rightarrow B(0,2017)$$g(y)=y-f(y)$. Obviamente $g$ es continua y su imagen es $B(0,2017)$. Por Brouwer del teorema de punto fijo de vínculo existe $y_0\in B(0,2017)$, de modo que $g(y_0)=y_0$, en particular, de ello se sigue que $f(y_0)=0$.

Vamos a modificar este argumento un poco y vamos a conseguir que $f$ está en

Deje $x$ cualquier elemento en $\mathbb{R}^2$ y considerar la posibilidad de $g(y)=y+x-f(y+x)$, $g:B(0,2017)\rightarrow B(0,2017)$ y de nuevo existe $y_0$, de modo que $g(y_0)=y_0+x-f(y_0+x)=y_0$, en particular, $f(y_0+x)=x$ por cada $x\in\mathbb{R}^ 2$

Answer 2

Si $\|x\|\to\infty$, claramente $\|f(x)\|\to\infty$. Esto significa que después de un $1$-punto de compactification de $R^2$, puede continuamente medida de lo $f$ a una función $S^2\to S^2$ través $f(\infty)=\infty$. Además, $f: S^2\to S^2$ es homotópica a la identidad del mapa, porque el homotopy $(x,t)\mapsto x+t(f(x)-x)$ puede ser ampliado continuamente a la punta de homotopy de la esfera a través de $(\infty,t)\mapsto\infty$. Por lo tanto el grado de $f$ $1$ $f$ es surjective.