Supongamos que cada uno de $n$ un hombre en una fiesta lanza su sombrero al centro de la sala...

Question

Supongamos que cada uno de $n$ un hombre en una fiesta lanza su sombrero al centro de la sala. Los sombreros se mezclan y luego cada hombre selecciona un sombrero al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los hombres seleccione su propio sombrero?

Answer 1

Tiene que ver con los desórdenes: $n!-D(n)$ .

Mira aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement

Answer 2

En primer lugar es un espacio de probabilidad uniforme por lo tanto:

Definamos el evento: $A_0$ = {ningún hombre selecciona su propio sombrero}

Por lo tanto, sabemos que $B_0$ = {al menos un hombre selecciona su propio sombrero} = $S_n-A_0$ , donde $S_N$ es el conjunto de todas las permutaciones.

Utilizando el principio de inclusión-exclusión encontramos que | $A_0$ | = $D_n$ = $\sum_{i=1}^{n} \frac{n!}{i!}(-1)^{i+1}$

Por lo tanto, $P(B_0) = \frac{n! - D_n}{n!} = \sum_{i=2}^{n}\frac{ (-1)^{i}}{i!}$

Answer 3

Por el principio de exclusión de la inclusión, tenemos $$P(\cup A_i)=\sum P(A_i)-\sum P(A_i\cap A_j)+\ldots+(-1)^{n+1}\sum P(\cap A_i),$$

donde $A_i$ es el caso de que el $i^{th}$ la persona elige su propio sombrero.

Una pista: $$P(A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_k)=\frac{(n-k)!}{n!}$$