Es cualquier conjunto cerrado con dos elementos de un grupo?

Question

Suponga que tiene un conjunto $S = \{a,b\}$ que es cerrado bajo asociativa de operación $ * $, es necesariamente un grupo? Estoy teniendo gran dificultad tratando de probarme a mí mismo que no existe un único elemento de identidad.

Como S es cerrado por $*$, $ a*a=a$ o exclusivamente $a*a=b$. Hasta ahora, mi enfoque es mostrar que $a*a=a$ es equivalente a $b*b=a$, sin embargo, me parece no puede manipular las ecuaciones para la fuerza de esa implicación. A alguien podría ser capaz de arrojar algo de luz? Muchas Gracias.

Answer 1

Para la cuestión general de la $(\{a,b\},*)$ ser un grupo, la respuesta es no: considerar la operación $\max$ en el conjunto de $\{0,1\}$. Se induce una monoid estructura asociativa y $0$ es el elemento neutro - pero $1$ no tiene inversa.

Por otra parte, cualquier conjunto $S$, con una constante mapa de $c:S\times S\to S$ es sin duda un semigroup.

Hay una última semigroup operación: $$a*b=b$$ Esto no es ni abelian ni un monoid y completa, junto con $(\Bbb Z/2\Bbb Z,+)$, $\max$, y la constante, la lista de las posibles clases de isomorfismo de semigroups de dos elementos.