Dejemos que $X$ sea un espacio lineal normado sobre $\mathbb C$ tal que $||x-y|| \ge \dfrac 12 (||x||+||y||)\bigg|\bigg| \dfrac x{||x||}- \dfrac y {||y||} \bigg|\bigg| , \forall 0\ne x, y \in X$ entonces es cierto que la norma sobre $X$ proviene de un producto interno ? ( Puedo demostrar que para un espacio complejo de producto interno , la desigualdad es cierta ) Si no es cierto en general , que pasa si además suponemos $X$ es de Banach o de dimensión finita?
Para ser precisos, la nota de una página de Kirk y Smiley no demuestra mucho; observan que la condición (trivialmente) implica $\|tx-t^{-1}y\|\ge \|x-y\|$ para todos los vectores unitarios $x,y$ y todos $t>0$ . Y este último fue demostrado para caracterizar los espacios de producto interno por E. R. Lorch: "Certain Implications Which Characterize Hilbert Space", Annals of Mathematics, Vol. 49, No. 3 (Jul., 1948), pp. 523-532. Si consigo extraer una prueba no demasiado aburrida de esta última, la publicaré como respuesta.
0 votos
Según la información disponible, una norma proviene de un producto interno si y sólo si satisface la ley del paralelogramo $\lVert x + y \rVert^2 + \lVert x + iy \rVert^2 + \lVert x - y \rVert^2 + \lVert x - iy \rVert^2 = 4 (\lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2)$ y en ese caso la fórmula del producto interno se encuentra a partir de la identidad de polarización $\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} (\lVert x + y \rVert^2 - i \lVert x+iy \rVert^2 - \lVert x-y \rVert^2 + i \lVert x-iy \rVert^2)$ .
0 votos
@DanielSchepler : Ya lo sé... ¿pero cómo ayuda eso aquí?
2 votos
El caso bidimensional es el caso general, porque tener un producto interior está determinado por subespacios 2D (a través de la ley del paralelogramo). Mi impresión es que la afirmación es cierta.
0 votos
¿no sería el espacio $\mathbb{C}^2$ con la norma $||(x, y)|| = |x| + |y|$ ¿Satisfacer eso?
1 votos
@ No. Los vectores $a=(0,1)$ y $b=(1,1)$ tienen $\|a-b\|=1$ en comparación con $\frac12(\|a\|+\||b\|)\|(0,1)-(1/2,1/2)\| = 3/2$ .