El $0^{\rm th}$ número primo

Question

Yo estaba realizando algunos cálculos con la versión en línea de Wolfram Alpha, cuando se me presentó con una fórmula que contiene el número de $p_0$. Desde Wolfram define $p_n$ $n^{\rm th}$ prime, yo, naturalmente, intrigado en cuanto a lo que Wolfram entiende por $p_0$. La introducción de Prime[0] en Wolfram, se me presentó con la siguiente expresión:

$$ p_0 = -\sqrt{10} \lfloor\sqrt{10} \alpha\rfloor + \lfloor 10^1 \alpha\rfloor, $$

where

$$ \alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{p_k}{10^{2^k}}. $$

What does this mean, where does it come from and why does it make sense to talk about a $0^{\rm th}$ de número primo?

Answer 1

Usted está buscando en un sentido circular definición.

$\alpha$ es un número que contiene cada primer agregando suficientemente desplazado a la base de 10 números. E. g.:

$\alpha = 0.02030005\ldots$

La expresión anterior sólo extractos de los números primos por unshifting (multiplicar por una potencia de 10) y suelos, restando los términos anteriores.

El resultado de la expresión de conectar $n = 0$ en la fórmula, que conduce a un no-sensical resultado (en esencia, un error de dominio).

Answer 2

Si $\alpha =\sum_{i=1}^{\infty} \frac{p_i}{10^{2^i}}$ entonces definitivamente podemos obtener los valores de $p_i$ vuelta por la informática:

$$p_i=\left\lfloor 10^{2^i}\alpha\right\rfloor-10^{2^{i-1}}\left\lfloor 10^{2^{i-1}}\alpha\right\rfloor$$

Esto es justo decir que estamos codificación de $p_i$ en los dígitos de $\alpha.$ es esencialmente un tonto fórmula que permita calcular $p_{\sqrt{2}}$$p_{-\pi}$, pero no tiene numéricos reales de uso.

En particular, la elección de la base $10$ es completamente arbitraria.