Cómo demostrar que un polinomio se puede escribir como Taylor estilo?

Question

Yo sé que por Taylor teorema, una función de $f$ bajo algunos supuestos, puede ser calculado por el $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}$$ If $f$ itself is a polynomial of degree $n$, then $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.$$ Esto puede ser directamente deduce a partir del teorema de Taylor como ya he mencionado.

Sin embargo, dado que esta es una forma mucho más simple resultado, podemos probar sin el uso de ese teorema? Y es que hay una comprensión intuitiva de la ecuación anterior?

Answer 1

Esto simplemente es una re-escritura de la fórmula binominal.

Primera nota es suficiente para demostrar que para monomials, ya que la diferenciación es una operación lineal. Así que vamos a establecer $f(x)=x^n$.

Segundo, la fórmula binominal rendimientos $$x^n=\bigl(a+(x-a)\bigr)^n=\sum_{k=1}^n\binom nk a^{n-k}(x-a)^k$$ y observar que $$\binom nk a^{n-k}=\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)a^{n-k}}{k!}=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}.$$

Answer 2

El uso de la inducción en $n\in\Bbb Z_{\ge 0}$.

Si $n=0$ la afirmación es obvia.

Si el enunciado es cierto para polinomios de grado $n$ o inferior y $p$ es un polinomio de grado $n+1$ $p'$ es un polinomio de grado $n$ y $$p'(x)=\sum_{k=0}^n \frac{p^{(k+1)}(a)(x-a)^k}{k!}$$ Por lo tanto $$p(x)=C+\sum_{k=0}^n \frac{p^{(k+1)}(a)(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}$$ para algunas constantes $C$. Tomando $x=a$, podemos ver que $C=p(a)$. Por lo tanto, $$p(x)=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{p^{(k)}(a)(x-a)^k}{k!}$$

Answer 3

Observar que: $$ D^k(x^n)\big|_{x=0}=\casos{ k! & si $n=k$,\\ 0 & si $n\ne k$.\\ } $$ De ello se sigue que si $$ P(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0 $$ entonces $$ P^{(k)}(0)=k!\,a_k, \quad\hbox{que es:}\quad a_k={P^{(k)}(0)\sobre k!}. $$ Un razonamiento análogo se puede repetir para el caso $P(x)=a_n(x-a)^n+\ldots+a_1(x-a)+a_0$, calcular derivadas en $x=a$.

Answer 4

Los polinomios son ya en este Taylor formulario.

Si quieres empezar con un polinomio, para luego convertirla en esta Taylor formulario, usted puede hacer que simplemente diferenciando el polinomio a a $n$ veces y, a continuación, el cálculo de los derivados a $a$. Si quieres demostrar que un polinomio es el de Taylor en la forma de una función dada, entonces esta pregunta debería ayudar.

Usted puede encontrar el de Taylor de la forma más intuitiva si lo interpretamos como un estándar de la forma " para el cálculo y aproximaciones. Es fácil de aplicar cambios y se extiende, y puede ser trunca como se desee para calcular una derivada en un punto o estimar el valor original de la función en un punto.

¿Eso responde a tu pregunta?

Answer 5

Para mí la comprensión intuitiva es que la información contenida en un polinomio de grado $n$ - que puede ser visto como su $n+1$ coeficientes, por ejemplo -, está codificado en su $n+1$ derivados en cualquier momento. Conocer el comportamiento del polinomio en cualquier momento con todo detalle, puede resconstruct completo.