¿Cómo cálculo sin el número de Euler (e) de look?

Question

Estoy empezando a estudiar cálculo y me he vuelto muy interesado en el número de Euler ($e$). Entiendo que la propiedad de ser su propio derivados hace que el "natural" a base de trabajo para el estudio de las tasas de cambio.

Sin embargo, me preguntaba qué pasaría si fingimos no saber acerca de la existencia de $e$. Estaría tratando de encontrar la derivada de algo como $a^x$ guiarnos en la búsqueda de la definición de $e$ o es posible evitar la $e$ en total?

En este video dice que no uso $e$ en el cálculo conduce a algunos bastante loco matemáticas. Lo que hace que las matemáticas?

Answer 1

Qué se entiende en el video es que si hacemos el cálculo con $2^x$ por ejemplo, se obtiene que

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx} 2^x = (\ln 2)2^x, \quad \int2^x dx = \frac{1}{\ln 2}2^x + C \end{aligned}$$

Y por supuesto, si usted no sabía acerca de $e$ y logaritmos, $\ln 2$ sería sólo algunos locos constante, usted tiene que averiguar de alguna manera. Así que las fórmulas para la diferenciación y la integración son "no muy buena". Compare esto con $e^x$:

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx} e^x = e^x, \quad \int e^x dx = e^x + C \end{aligned}$$

De repente no hay nada que recuerde, ningún loco constantes, y la diferenciación y la integración son tan simples como que podría ser.

Por último, si nadie había descubierto $e$, creo que una vez que el sarro se había inventado gente encuentra lo bastante rápido. Una vez que usted sepa lo que la diferenciación es, es natural que se pregunte "¿hay una función que es su propia derivada?", y esta pregunta se conducen naturalmente a la función de $e^x$.

Answer 2

El método habitual para no introducir $e$ temprana es hacer todo lo demás, incluyendo la integral y el teorema fundamental del cálculo. A continuación, defina una nueva función para $x>0$ por $$ f(x) = \int_1^x \; \frac{1}{t} \; dt $$ A continuación, la función exponencial es la función inversa de la $f(x),$ que $\exp, $, la constante se convierte en $\exp 1$

Answer 3

\begin{align} \frac d {dx} 2^x & = \lim_{\Delta x\to0} \frac{2^{x+\Delta x} - 2^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \left( 2^x \frac {2^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right) \\[10pt] & = 2^x \lim_{\Delta x\to0} \frac {2^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \quad \text{This step is possible because %#%#% is} \\ & \quad \text{ "constant" in the sense that it does not change as %#%#% approaches %#%#%} \\[10pt] & = \Big(2^x \times \text{a constant}\Big) \text{ where this time "constant" means} \\ & \qquad \text{ not changing as %#%#% changes.} \end{align} Del mismo modo $$ \frac d {dx} 3^x = \Big(3^x \times \text{una constante} \Big) $$ pero es una constante diferente.

Ahora tenemos el problema de la determinación de cuáles son estas "constantes".

Y en lugar de $2^x$ o $\Delta x$ como la base, para que el número como base la "constante" ser igual a $0.$

La respuesta a la última pregunta es cómo el número de $x$ ser descubierto si no ya lo sabe.

Y una vez que lo hemos hecho, las leyes de los exponentes más la regla de la cadena quisiera decirnos que los dos "consants" que mencionamos anteriormente, se $2$ $3$

Answer 4

Sólo para ser la contraria, imagino que $e$ no se ha descubierto, pero se sabe que $\arcsin$ puede ser analíticamente siguió a algún subconjunto de $\mathbb C$ que contiene el eje imaginario positivo. A continuación, mediante la sustitución de $u=t-1/t$, podemos evaluar la integral $$ \int\frac{dt}t=\int\frac{du}{\sqrt{4+u^2}}=-i\arcsin(ui/2)+C=-i\arcsin(i(t-1/t)/2)+C. $$ En otras palabras, usted puede (torpemente) prescindir de la función exponencial, utilizando trignometric funciones, que han sido conocidos por más tiempo.

Answer 5

Cálculo con exponenciales y logaritmos conduce inexorablemente a la constante de Euler.

Directamente de la definición de derivada se entera de que

$$(a^x)' = L(a)a^x$$

Donde $L(a)$ es una constante que depende del $a$. Un poco de engañar (que voy a insertar en un poco) le convencerá de que $L(a)$ es un logaritmo con una base de entre 2 y 4. Por definición, $e$ es de esta base.