Espacio de alternancia $k$-tensores notación

Question

Me va a tomar un Diferencial de la clase de Geometría en el Otoño, así que me decidí a conseguir algo de una cabeza a empezar por ir a través de Spivak del "Cálculo de los Colectores." Antes de la lectura, sin embargo, vi la Addenda al final, en la que decía que su anotación $\Lambda^{k}\left(V\right)$ por el espacio de la alternancia $k$-tensores era incorrecta, a pesar de que es naturalmente isomorfo a $\Lambda^{k}\left(V^{*}\right)$ para fin. dim. $V$ (y, después de un poco más de cavar alrededor en Wikipedia, es naturalmente isomorfo a $\left(\Lambda^{k}\left(V\right)\right)^{*}$ en general). Es la notación sugerida por Spivak, $\Omega^{k}\left(V\right)$, estándar o existe alguna otra notación que se utiliza normalmente?

EDIT: Para citar Spivak: "Finalmente, la notación $\Lambda^{k}\left(V\right)$ que aparecen en este libro es incorrecta, ya que entra en conflicto con la definición estándar de $\Lambda^{k}\left(V\right)$ (a partir de un determinado cociente del tensor de álgebra de $V$). Para el espacio vectorial en cuestión (que es naturalmente isomorfo a $\Lambda^{k}\left(V^{*}\right)$ finito dimensionales espacios vectoriales $V$) la notación $\Omega^{k}\left(V\right)$ es, probablemente, en el camino de convertirse en estándar."

No sé si este es el caso, sin embargo, o si su uso de $\Lambda^{k}\left(V\right)$ se convirtió en el estándar.

Answer 1

En Lee 'Introducción a la Suave Colectores', $\Lambda^k(V)$ se refiere al espacio de la alternancia $k$-tensores en un espacio vectorial $V$, como usted ha mencionado. Sin embargo, el espacio de $\Omega^k(M)$ es el espacio de liso $k$-formas sobre una superficie suave colector $M$. Es decir, un elemento de $\omega \in \Omega^k(M)$ es un buen mapa de $M \to \Lambda^k(T^* M)$ (que se llama lisa sección de el lote de $\Lambda^k(T^* M)$), por lo que para cada punto de $x \in M$, obtenemos un alternando $k$-tensor $\omega(x) \in \Lambda^k(T^* M)$. Este espacio es a menudo escrita como $\Omega^k(M) = \Gamma(\Lambda^k(T^* M))$.

No es completamente seguro, sin embargo lo $\Omega^k(V)$ es, al $V$ es sólo un espacio vectorial.