Homomorphisms de los grupos aditivos de personajes virtuales en ciertos grupos idele

Question

Esta es una pregunta de Frohlich del libro 'Galois Módulo de la Estructura Algebraica de los números Enteros', Ch.1.

Deje $K$ ser un campo de número y $\Omega_K=\text{Gal}(K^c/K)$ donde $K^c$ es el separables cierre de $K$. También vamos a $\Gamma$ser cualquier grupo finito y $R_\Gamma$ anillo de los personajes virtuales de $\Gamma$. La próxima vamos a $\mathfrak I(\mathbb Q^c)$ directo límite de la idele grupos $\mathfrak I(E)$ $E$ corre sobre el número de campos en $\mathbb Q^c$. Los valores de los personajes virtuales de $\Gamma$ mentir en algún campo de número de $F$ contiene $K$.

El libro afirma que $$\text{Hom}_{\Omega_K}(R_\Gamma,\mathfrak{I}(\mathbb Q^c))=\text{Hom}_{\Omega_K}(R_\Gamma,\mathfrak{I}(F))$$

¿Cómo podemos demostrar esto? Para empezar, ¿cómo sabemos que el lado izquierdo es un subgrupo de la RHS?

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Supongamos que tenemos un grupo de homomorphism $f$$R_\Gamma$$\mathfrak{I}(\mathbb Q^c)$. Decir que es un $\Omega_K$-homomorphism es decir, que para cualquier $\sigma\in \Omega_K$ y cualquier $\chi\in R_\Gamma$, $\sigma(f(\sigma^{-1}\chi))=f(\chi)$. Esta es la habitual acción de un grupo de $G$ en homs entre dos $G$-módulos. En particular, esto debe ser cierto para $\sigma$ que se encuentran en el subgrupo $\Omega_F$. Pero por definición de $F$, $\sigma^{-1}\chi=\chi$ para todos los $\sigma$, por lo que están exigiendo que $\sigma(f(\chi))=f(\chi)$ todos los $\chi\in R_\Gamma$. En otras palabras, usted quiere que la imagen de $f$ a tierra en la parte de $\mathfrak{I}(\mathbb Q^c)$ que es invariante bajo $\Omega_F$. Por último, el uso de Galois descenso para idele grupos a la conclusión de que la imagen de cualquier $f$ que conmuta con Galois debe aterrizar en $\mathfrak{I}(\mathbb Q^c)^{\Omega_F} = \mathfrak{I}(F)$, que es precisamente lo que Fröhlich reclamaciones.

Tenga en cuenta que nosotros ni siquiera usar ese $f$ $\Omega_K$- hom, simplemente que era una $\Omega_F$-hom.

Anexo: Galois descenso para idele grupos dice que si $L/k$ es un finita de Galois de la extensión de los campos de número con grupo de Galois $\Gamma$,$\mathfrak{I}(L)^\Gamma = \mathfrak{I}(k)$. Esto es muy fácil convencer a ti mismo. Entonces usted puede ver fácilmente que el mismo es cierto para un directo de límite finito de extensiones. En el argumento anterior, esto se aplica con $L=\mathbb Q^c$, y con $k=F$. Esto se discute un poco en el libro de Neukirch, Wingberg, Schmidt, Cohomology de los Campos de Número.