Atascado en las pruebas de la existencia que implica autogestión y funciones simples

Question

Algunos compañeros y yo hemos estado trabajando a través de una secuencia de problemas en Royden real de análisis de texto, que se encuentran en el capítulo sobre Lebesque medibles funciones en torno a la Secuencial Pointwise Límites y funciones Simples aproximaciones. Tenemos algunos de ellos, pero están atrapados en los demás.

Para cada uno de los problemas, vamos a asumir que tenemos $I$ cerrada o limitada intervalo.

1. Deje $E$ ser un subconjunto medible de $I$. Deje $\epsilon > 0$. Mostrar que existe una función de paso de $h$ $I$ y un subconjunto medible $F$ $I$ que $h=X_E$ $F$ $m(I\setminus F)<\epsilon$
2. Deje $\psi$ ser una simple función definida en $I$. Deje $\epsilon > 0$. Mostrar que existe una función de paso de $h$ $I$ y un subconjunto medible $F$ $I$ que $h=\psi$ $F$ $m(I\setminus F)<\epsilon$
3. Deje $f$ ser un acotado medible función definida en $I$. Deje $\epsilon > 0$. Mostrar que existe una función de paso de $h$ $I$ y un subconjunto medible $F$ $I$ que $|h-f|<\epsilon$$F$$m(I\setminus F)<\epsilon$.

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Evidentemente, todos estos problemas son muy similares y construir uno sobre el otro. Luego se muestra la existencia de una función de paso en $F \subset I$ donde $m(I\setminus F)<\epsilon$. En el primero se demuestra que $X_E$ existe. A continuación, se muestran una simple función de $\psi$ existe lo que nosotros sabemos es de la forma $\psi=\sum_{k=1}^n a_k X_{E_k}$. A continuación, puedes hacerlo para cualquier acotado medible función de $f$.

Ideas para 1: existe un número finito de apertura de la tapa de $I$ ($O=\bigcup_{k=1}^n I_k$), que también debe abarcar $E \subset I \subset O$ con la propiedad de que $m(O\setminus I)<\epsilon$. Si podemos establecer $F=(O\setminus E)^c$ podríamos tratar de demostrar que $m(I\setminus F) = m(O\setminus E)<\epsilon$. También nos damos cuenta de que $X_E = X_O$$F$. A pesar de que no hemos de poner todo junto.

Ideas para 2: Deje $\psi=\sum_{k=1}^n a_k X_{I_k}$, donde de nuevo $O=\bigcup_{k=1}^n I_k$ es una cubierta abierta de a $I$. También sabemos que hay un cerrado $F_i \subset I_i$ donde$m(I_i \setminus F_i)<\frac \epsilon n$, lo que podría conducir a $m(I \setminus F) \le m(\bigcup_{i=1}^n I_i \setminus \bigcup_{i=1}^n F_i) = \sum_{i=1}^n m(I_i \setminus F_i) < \sum_{i=1}^n \frac \epsilon n = \epsilon$

Ideas para 3: Uso simple aproximación teorema que dice que $f$ es medible en $E$ fib existe una sucesión de funciones simples que convergen p.w. en $E$ $f$s.t. $|\psi_n|\le|f|$ $E$ todos los $n$.

Cualquier sugerencia para poner las ideas o soluciones más sencillas sería muy apreciada!

Answer 1

Lo que te falta en 1 es el que usted desea utilizar su cobertura relativa a la $E$ e no $I$.

Desde $E$ se puede medir, no existe un abierto de la cubierta $O=\bigcup_1^n I_k$ $E$ tal que $m(O\setminus E)<\varepsilon$. Deje $h=\sum_1^n\chi_{I_k}=\chi_O$. Deje $F=E\cup (I\setminus O)$. Entonces $$ m(I\setminus F)=m(S\setminus E)<\varepsilon. $$ Y $h$$1$$E$$0$$I\setminus O$, lo $h=\chi_E$$F$.

Para 2, recuerde que $\psi$ es simple, no paso. Por lo $\psi=\sum_1^na_k\chi_{E_k}$ $E_k$ medibles. Ahora a aplicar 1 a cada una de las $E_k$, para obtener el $F_1,\ldots,F_n$ medibles y $h_1,\ldots,h_n$ paso con $h_k=\chi_{E_k}$$F_k$, e $m(I\setminus F_k)<\varepsilon/n$. Deje $h=\sum a_k h_k$ (suma de paso, es el paso). Deje $F=\bigcap F_k$. A continuación,$h=\psi$$F$, y $$ m(I\setminus F)\leq\sum m(I\setminus F_k)<\varepsilon. $$

Para 3, fix $\varepsilon>0$. Desde $f$ es limitado y medibles, no existe $\psi$ simple con $|f-\psi|<\varepsilon$. Por 2, no existe $h$ paso y un conjunto medible $F$$h=\psi$$F$$m(I\setminus F)<\varepsilon$. En $F$, $|f-h|=|f-\psi|<\varepsilon$.