Calcular $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{\arccos{x}}{\sqrt{1-x}}$ sin usar L ' Hôpital ' regla s.

Question

Pregunta:

Calcular

$$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{\arccos{x}}{\sqrt{1-x}}$$

sin utilizar la regla de L'Hôpital.

Intento de solución:

Una substitución espontánea de t = $\arccos{x}$ da:

$$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{\arccos{x}}{\sqrt{1-x}} = \lim_{t \to 0^{+}} \frac{t}{\sqrt{1-\cos{t}}}$$

Utilizando la fórmula de medio ángulo $\sin \frac{t}{2}$:

$$\lim_{t \to 0^{+}} \frac{t}{\sqrt{1-\cos{t}}} = \lim_{t \to 0^{+}} \frac{t}{\sqrt{2 \sin^{2}{(\frac{t}{2})}}} = \lim_{t \to 0^{+}} \frac{t}{\sqrt{2}\sin{(\frac{t}{2})}}$$

Forzar un límite estándar:

$$\lim_{t \to 0^{+}} \frac{t}{\sqrt{2}\sin{(\frac{t}{2})}} = \lim_{t \to 0^{+}} \frac{\frac{t}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{(\frac{t}{2})}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$$

Sin embargo, esto no es correcto ya que el límite es $\sqrt{2}$. ¿Dónde he ido mal?

Answer 1

SUGERENCIA: $$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\sqrt{2}$ $

Answer 2

Para mostrar una forma diferente: $$ \lim_{x \to 1 ^ {–}} \frac{\arccos{x}}{\sqrt{1-x}} = \lim_{t \to 0 ^ {+}} \frac{t}{\sqrt{1-\cos{t}}}= \lim_{t \to 0 ^ {+}} \frac{t\sqrt{1+\cos{t}}}{\sqrt{1-\cos^2{t}}}= \lim_{t\to0^+}\frac{t}{\sin t} \sqrt {1 + \cos t} = \sqrt {2} $$

Answer 3

Aquí es otro enfoque que se basa en el teorema de apriete y las desigualdades elementales de geometría

$$x\cos x\le \sin x\le x \tag 1$$

$0\le x\le \pi/2$.

Que $x=\arccos(y)$ $(1)$ revela

$$y\arccos(y)\le \sqrt{1-y^2}\le \arccos(y) \tag 2$$

$y\le 1$.

Después de reorganizar $(2)$, obtenemos $ 0

$$\sqrt{1-y^2}\le \arccos(y)\le \frac{\sqrt{1-y^2}}{y} \tag 3$$

Ahora, dividiendo el $(3)$ $\sqrt{1-y}$, tenemos para $y<1$

$$\sqrt{1+y}\le \frac{\arccos(y)}{\sqrt{1-y}}\le \frac{\sqrt{1+y}}{y} \tag 4$$

Por último, aplicando el teorema del apretón a $(4)$ da el resultado esperado

$$\lim_{y\to 1^{-}}\frac{\arccos(y)}{\sqrt{1-y}}=\sqrt 2$$

Y ya terminamos!