Presentaciones de los subgrupos de los grupos que se presentan

Question

Si se tiene un grupo finitamente generado dado por una presentación, ¿existe un buen método para determinar una presentación para un subgrupo generado por algún subconjunto de los generadores dados en la presentación? En concreto: He encontrado una presentación para el grupo $GL_2(\mathbb{Z})$ que es $$\bigl\langle R,T,X\;\bigm|\; X^2=T^2=(XT)^4=(RT)^3=(RTX)^3=(RXT)^3=1\bigr\rangle,$$ con las matrices dadas por $$R=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\1 & 1\end{array}\right),\space T=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\0 & -1\end{array}\right),\space X=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)$$ ¿Se puede encontrar fácilmente una presentación para el subgrupo generado por R y T?

Answer 1

Pensé que sería útil trabajar a través del proceso de reescritura de Reidemeister-Schreier, como en mi comentario a la pregunta. Así que aquí está.

Entonces, sabemos que su subgrupo tiene índice $4$ por lo que ha dicho Derek Holt. Sin embargo, esto no es demasiado difícil de hacer a mano - que acaba con su (derecho) cosets ser,

$H$ , $Hx$ , $Hxt$ y $Hxtx$ .

(He quitado las mayúsculas a las matrices y he llamado al subgrupo para el que queremos encontrar la presentación $H$ ). Como su grupo tiene índice finito, tendrá una presentación finita.

Nota: encontrar los cosets es la parte molesta. Sin embargo, si tu subgrupo es normal, ¡es muy fácil!

Así que básicamente ahora quieres hacer lo que dijo Ryan Budney. Es decir, dibujar tus cuatro cosets en un cuadrado ( $0$ -) y dibujar las líneas donde cada generador envía cada coset ( $1$ -células). Indexar los generadores por los cosets de los que salen (así, por ejemplo, $x_{Hxtx}$ toma $Hxtx$ a $Hxt$ ). Debería tener $4$ líneas etiquetadas con un $x_i$ , $4$ por un $t_i$ y $4$ por un $r_i$ . (Pido disculpas por no haber hecho un dibujo, ¡no tengo ni idea de cómo hacerlo aquí!)

A continuación, añada su $2$ -células. Básicamente, se comienza en cada una de las $4$ cosets y traza hacia dónde llevan tus relaciones definitorias originales cada coset. Escribe estos caminos (todos deben ser bucles).

Su nuevo grupo es el grupo fundamental de este $2$ -complejo. Así, sus generadores son los $0$ -células, las relaciones el $2$ -células, y luego tomar un árbol de colapso.

Escribir $x_0$ para $x_{H}$ , $x_1$ para $x_{Hx}$ , $x_2$ para $x_{Hxt}$ y $x_3$ para $x_{Hxtx}$ Tengo lo siguiente $2$ -células,

$x_0x_1$ , $x_2x_3$ , $t_0^2$ , $t_1t_2$ , $t_3^2$ , $x_0t_1x_2t_3x_3t_2x_1t_0$ , $x_1t_0x_0t_1x_2t_3x_3t_2$ , $x_2t_3x_3t_2x_1t_0x_0t_1$ , $x_3t_2x_1t_0x_0t_1x_2t_3$ , $(r_0t_0)^3$ , $(r_1t_2)^3$ , $(r_2t_1)^3$ , $(r_3t_3)^3$ , $r_0t_0r_1t_2x_1$ , $r_2t_1x_2r_3t_3x_3$ , $r_0x_0t_1r_2x_1t_0$ , $r_1x_2t_3r_3x_3t_2$ , $r_2x_1t_0r_0x_0t_1$ , $r_3x_3t_2r_1x_2t_3$

y $x_0$ , $t_1$ , $x_2$ parece un buen candidato para un árbol que se derrumba.

Así, tenemos la presentación,

$\langle x_1, x_3, r_0, r_1, r_2, r_3, t_0, t_2, t_3;$

$x_1, x_3, t_0^2, t_2, t_3^2, t_3x_3t_2x_1t_0, x_1t_0t_3x_3t_2, t_3x_3t_2x_1t_0, x_3t_2x_1t_0t_3, (r_0t_0)^3, (r_1t_2)^3, r_2^3, (r_3t_3)^3,$

$r_0t_0r_1t_2x_1, r_2r_3t_3x_3, r_0r_2x_1t_0, r_1t_3r_3x_3t_2, r_2x_1t_0r_0, r_3x_3t_2r_1t_3\rangle$

Observando que $x_1$ , $x_3$ y $t_2$ son todos triviales, y eliminando los elementos apropiados (lo que lleva bastantes pasos) obtenemos

$\langle r_0, r_3; (r_3r_0r_3)^2, (r_0r_3)^3\rangle$

que, aplicando las transformaciones de Tietze adecuadas, se convierte en

$\langle s, t; t^2, (rt)^3\rangle$

que es (afortunadamente - ¡no tienes ni idea de lo que ha durado este post!) la misma que la respuesta de Derek Holt.

Answer 2

Ayudaría que la presentación fuera correcta. Las dos relaciones finales deberían ser presumiblemente $(RTX)^2=(RXT)^2=1$ . Utilizando la presentación modificada, un sencillo cálculo informático en GAP o Magma muestra que $\langle R,T \rangle$ tiene el índice 4 en $G$ y es un producto libre de grupos cíclicos de orden 2 y 3, con relaciones de definición $T^2 = (RT)^3=1$ .