¿Por qué tomamos el cierre de la ayuda?

Question

En la topología y el análisis definimos el apoyo continuo de la función real $f:X\rightarrow \mathbb R$$ \left\{ x\in X:f(x)\neq 0\right\}$. Este es el complemento de la fibra $f^{-1} \left\{0 \right\}$. Así que parece que el apoyo siempre es un conjunto abierto. Entonces, ¿por qué hemos de tomar su cierre?

En la geometría algebraica, si nos fijamos en los elementos de un anillo como funciones regulares, entonces es tentador para definir su apoyo de la misma manera, que los rendimientos de $\operatorname{supp}f= \left\{\mathfrak p\in \operatorname{Spec}R:f\notin \mathfrak p \right\}$. Pero estos son los básicos de abrir conjuntos de la topología de Zariski. Sólo estoy tratando de entender si esto no es una forma sana de ver las cosas, porque me han dicho "apoyo debe ser cerrado".

Answer 1

Dado un esquema de $X$ hay dos nociones de apoyo a $f\in \mathcal O(X)$:
1) La primera definición es el conjunto de puntos $$\operatorname {supp }(f)= \left\{ x\in X:f_x\neq 0_x\in \mathcal O_{X,x}\right\}$$ where the germ of $f$ at $$ x no es cero.
Este apoyo se cierra automáticamente: no es necesario tener un cierre.
2) La segunda definición es la buena vieja la puesta a cero de $f$ definido por $$V(f)=\{ x\in X:f[x]=\operatorname {class}(f_x)\neq 0\in \kappa (x)=\mathcal O_{X,x}/ \mathfrak m_x\}$$ también se cierra automáticamente.
3) La relación entre estos subconjuntos cerrados es$$ V(f)\subset \operatorname {supp }(f)$$, con estrictos de inclusión en general:
Para un ejemplo simple, tome $X=\mathbb A^1_\mathbb C=\operatorname {Spec}\mathbb C[T],\: f=T-17$ .
A continuación, para $a\in \mathbb C$ $x_a=(T-a)$ tenemos $f[a]=a-17\in \kappa(x_a)=\mathbb C$ y para los genéricos punto de $\eta=(0)$ tenemos $f[\eta]=T-a\in \kappa(\eta)=\operatorname {Frac}(\frac {\mathbb C[T]}{(0)})=\mathbb C(T)$.
Por lo tanto $f[x_{17}]=0$ $f[P]\neq 0$ para todos los otros $P\in \mathbb A^1_\mathbb C$ , por lo que el $$V(f)=\{x_{17}\}\subsetneq \operatorname {supp }(f)=\mathbb A^1_\mathbb C$$