Si $(ab)^3=a^3 b^3$, demostrar que el grupo $G$ es abeliano.

Question

Si en un grupo de $G$, $(ab)^3=a^3 b^3$ para todos los $a,b\in G$, amd la $3$ no divide $o(G)$, demuestran que, a $G$ es abelian.

Yo interpreté el hecho de que $3$ no divide $o(G)$ como diciendo $(ab)^3\neq e$ donde $e$ es la identidad del grupo.

Como para demostrar la $ab=ba$, yo no llegar a ninguna parte útil. Tengo la relación $(ba)^2=a^2 b^2$, pero no podía continuar más allá de eso. Tengo un montón de otras relaciones que no podía explotar - como $a^2 b^3=b^3 a^2$

Una sugerencia en lugar de una solución sería genial!

Gracias de antemano!

Answer 1

Este es un intento de primaria y lineal de la exposición de esta prueba de estrategia, ya que el original parecía causar un poco de confusión a partir de un comentario - y que usa el lenguaje de homomorphisms, que he evitado.

En primer lugar usted necesita para establecer que cada elemento del grupo es un cubo. Dado que el grupo tiene orden de no divisible por 3, sabemos que si $x^3=e$ $x=e$ (con $e$ por la identidad).

Ahora supongamos que $a^3=b^3$ - luego tenemos a $e=(a^3)(b^{-1})^3=(ab^{-1})^3$, de modo que $ab^{-1}=e$ donde $a=b$.

Esto significa que no hay dos cubos de diferentes elementos son iguales. Así que si nos cubo de todas las $n$ elementos en el grupo que obtenga $n$ resultados diferentes. Por lo tanto cada elemento del grupo debe ser un cubo.

Ahora considere el $(aba^{-1})^3$ en dos maneras.

Escriben en su totalidad y la cancelación de $aa^{-1}=e$ obtenemos $ab^3a^{-1}$

El uso de la relación especial que tenemos para el grupo que obtenga $(ab)^3(a^{-1})^3=a^3b^3(a^{-1})^3$

La configuración de estos igualdad y la cancelación: $b^3=a^2b^3(a^{-1})^2$ o $b^3a^2=a^2b^3$

Desde $a$ $b$ eran completamente arbitraria, cada plaza conmuta con cada cubo. Pero cada elemento del grupo es un cubo, por lo que cada plaza de viajes con todo.

Ahora podemos escribir $ababab=(ab)^3=a^3b^3$ y cuando cancelamos y utilice el hecho de que las plazas conmutar nos encontramos con que $baba=a^2b^2=b^2a^2$ donde $ab=ba$.

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Tenga en cuenta que el hecho de que el grupo había pedido no divisible por $3$ fue utilizado solamente para demostrar que no hubo elementos de orden $3$. La pregunta puede surgir acerca de infinito grupos que no tienen elementos de orden o $3$ y obedecer la relación dada en la pregunta.

La prueba de que aquí no pasa, porque un recuento argumento fue usado para mostrar que cada elemento en el grupo es un cubo. Este conteo argumento no puede ser transpuesto para el caso infinito. Todavía podemos demostrar que todos los cubos de diferentes elementos son diferentes y que cada cuadrado conmuta con cada cubo, pero que no es suficiente para concluir que el argumento.

Answer 2

Esto se desprende de Si un grupo es $3$-abelian y $5$-abelian, entonces es abelian, porque $3$-abelian dice que el único no-principales elementos que debe tener exponente $3$, y ya sabemos que el orden de $G$ no es divisible por $3$, la demanda de la siguiente manera. Una prueba más de la demanda puede ser encontrado aquí: http://mathforum.org/library/drmath/view/67128.html.