Suma (menos límite superior) de la serie infinita

Question

Tengo que encontrar la suma (o el menos límite superior) de la serie infinita (exacta expresión número no decimal) de la serie $\begin{equation} \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k!(1+k)^k}{(k^2)!} \end{equation} $. Estoy desorientado, gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Fórmula de Stirling da

$$\frac {k! (1 + k)^k} {(k^2)!} < k^{2k - k^2 - \frac {1} {2}} e^{k^2 - k + 1 + \frac {k - 1} {12 k^2}}.$$

Answer 2

Estos $\sum_n a_n$ de la serie tiene un % de término general $a_n$que decae muy rápido por ejemplo

$a_1=2$

$a_1=0.75$

$a_3=0.0010582$

$a_4=7.16922\times10^{-10}$

$a_5=6.01578\times10^{-20}$

$a_6=2.27712\times10^{-34}$

La principal contribución a la suma es por lo tanto los primeros términos.

$$\sum _{k=1}^{2} \frac{(k+1)^k k!}{k^2!}\approx 2.75$$ $$\sum _{k=1}^{10} \frac{(k+1)^k k!}{k^2!}\approx 2.75106$$ $$\sum _{k=1}^{50} \frac{(k+1)^k k!}{k^2!}\approx 2.75106$$