¿$X_{t}=\exp\left\{\left(\mu-r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)t+\sigma W_{t}\right\}$, Tenemos $\mathbb{E}[\int_{0}^{\tau_{b}}X_{s}dW_{s}]=0$?

Question

Que $X_{t}$ denotan la solución a la SDE: $$dX_{t}=(\mu -r)X_t dt+\sigma X_t d W_{t}, \ X_{0}=1$ $

es decir, $X_{t}$ es el proceso: $$X_{t}:=\exp\left\{\left(\mu-r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)t+\sigma W_{t}\right\}$ $

(aquí suponemos $\mu <r$ y $\sigma >0$ $W$ es un estándar movimiento browniano de 1-d). ¿Fix $0<b<1$y que $\tau_{b}$ denotan el tiempo golpeando de la $$\tau_{b}:=\inf\{t \geq0, \ X_{t}=b\}.$$ Do we have $\mathbb{E}\left nivel b: (\int\limits_ {0} ^ {\tau_ {b}} icadas {s} dW_ {s} \right) = 0$?

¡Gracias!

Answer 1

Puesto que la integral estocástica de procesos $$Y(t)=\int_{0}^{t}X_{s}\,\text{d}W_{s}\ , \quad t \geq 0$$ is a martingale and $ \tau_{b}$ is an (almost-surely) bounded stopping time (adapted to the same filtration as process $Y$) then by the Optional Stopping Theorem the expected value of the random variable $Y(\tau_{b})$ is equal to that of the random variable $Y(0)$, que es cero.