¿Hay una relación útil entre el pointwise y $L^2$ distancia?

Question

Sería muy conveniente para llegar a un límite en el punto sabio cercanía de las funciones de conocer su $L^2$ a distancia. Claramente, si dos funciones están cerca de la $L^2$ sentido, no se puede tener un límite en su punto-prudente distancia, pero tal vez se estrecha a lo largo de algunas partes de su dominio.

En mi mente un teorema puede ser algo como esto:

Dado un medibles, delimitada la función $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ si $||f||_2<\varepsilon$ a continuación hay algunos de los 'pequeños' $\delta > 0$ y un conjunto $V\subset U$ donde $|f(x)|<\delta \ \forall\ x\in V,$ $ \mu(V)\geq\mu(U)-\eta_{\varepsilon, \ \delta}$

Entonces, si tuviéramos $f_1,f_2\ni||f_1-f_2||_2<\varepsilon$ habría una "bastante grande" set $V$ donde $|f_1-f_2| < \varepsilon$ a lo largo de $V$.

Hacer teoremas como este existen?

Answer 1

El siguiente es un ingenuo tomar este problema.

Si $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ es una función medible tal que $$\sqrt{\int_U f^2} < \epsilon_1$$

y $V \subset U$ es el conjunto medible tal que $\left|f(x)\right| \geq \epsilon_2$ todos los $x \in V$ $\left|f(x)\right| < \epsilon_2$ para todos los $x \in U\setminus V$, luego

$$\epsilon_2^2 m(V) = \int_{V}\epsilon_2^2 \leq \int_{U}f^2 < \epsilon_1^2$$

Por lo tanto $$m(V) < \frac{\epsilon_1^2}{\epsilon_2^2}$$

No es difícil la construcción de funciones simples que muestran que $m(V)$ puede ser arbitrariamente cerca de este límite superior. Por lo tanto, sin condiciones adicionales, esta es la mejor obligado podemos obtener el tamaño de $V$.

Esto sugiere que el resultado,

La Proposición: Vamos A $\epsilon > 0$. Si $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ es una función medible que $$\sqrt{\int_U f^2} < \epsilon$$ entonces el conjunto $V = \left\{x \in U : \left|f(x)\right| \geq \sqrt{\epsilon}\right\}$ tiene una medida de $m(V) < \epsilon$.

Quizás con condiciones adicionales un mayor resultado puede ser probada.