Sin pérdida de generalidad, considerar los puntos P=(h,k), P′=(−h,−k) y Z=(x,y) en un círculo, cuyo centro es el origen O=(0,0). Ver la siguiente figura:
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Es un hecho bien conocido que los tres puntos forman un ángulo recto del triángulo.
Recordemos que el cuadrado de la longitud de un cathetus (||Z−P||) es igual al producto de las longitudes de su proyección ortográfica de la hipotenusa (m) veces la longitud de este (2||O−P||).
Pero m puede ser calculado por:
m=(Z−P)⋅(O−P)||O−P||
Por lo tanto, tenemos:
||Z−P||2=(Z−P)⋅(O−P)||O−P||(2||O−P||)⇒
(x−h)2+(y−k)2=−2(x−h)h−2(y−k)k⇒
(x−h)2+(y−k)2+2h(x−h)+2k(y−k)=0(1)
La relación (1) es por lo tanto un círculo ecuación.
Tenga en cuenta que la expresión
2h(x−h)+2k(y−k)=0
es una ecuación de la recta tangente en el punto de P.
Así que si usted elige un adecuado λ tal que
2h(x−h)+2k(y−k)=λ(ax+by+c)
usted obtendrá:
(x−h)2+(y−k)2+λ(ax+by+c)=0.(2)
Y hemos terminado.