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¿Forma alternativa de la ecuación del círculo?

En un conjunto de problemas que me de problemas, una de las soluciones utiliza la ecuación de un círculo en forma

(xh)2+(yk)2+λ(ax+by+c)=0

donde,

(h,k) es cualquier punto en el círculo

ax+by+c=0  es la ecuación de la tangente en el punto (h,k) y λ es una constante evaluada ajustando la ecuación al otro punto conocido en el círculo.

No veo cómo hemos llegado a esta ecuación. ¿Podrian ayudarme por favor?

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JohnJohnGa Puntos 111

Sin pérdida de generalidad, considerar los puntos P=(h,k), P=(h,k) y Z=(x,y) en un círculo, cuyo centro es el origen O=(0,0). Ver la siguiente figura:

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Es un hecho bien conocido que los tres puntos forman un ángulo recto del triángulo.

Recordemos que el cuadrado de la longitud de un cathetus (||ZP||) es igual al producto de las longitudes de su proyección ortográfica de la hipotenusa (m) veces la longitud de este (2||OP||).

Pero m puede ser calculado por:

m=(ZP)(OP)||OP||

Por lo tanto, tenemos: ||ZP||2=(ZP)(OP)||OP||(2||OP||) (xh)2+(yk)2=2(xh)h2(yk)k (xh)2+(yk)2+2h(xh)+2k(yk)=0(1)

La relación (1) es por lo tanto un círculo ecuación.

Tenga en cuenta que la expresión 2h(xh)+2k(yk)=0 es una ecuación de la recta tangente en el punto de P.

Así que si usted elige un adecuado λ tal que 2h(xh)+2k(yk)=λ(ax+by+c) usted obtendrá: (xh)2+(yk)2+λ(ax+by+c)=0.(2) Y hemos terminado.

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AsdrubalBeltran Puntos 2298

La ecuación de C2 es (xh)2+(yk)2=r2 C1, es (xm)2+(yn)2=r2.

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Ahora, haga la traducción el centro C2 centro de C1 entonces: C1=(xh+mh)2+(yk+nk)2=r2$$C_1=(x-h)^2+2(x-h)(m-h)+(m-h)^2+(y-k)^2+2(y-k)(n-k)+(n-k)^2=r^2 C1=(xh)2+(yk)2+2(xh)(mh)+2(yk)(nk)=0$$tengaencuentaque2(x-h)(m-h)+2(y-k)(n-k)=2x(m-h)-2h(m-h)+2y(n-k)-2k(n-k)=0 es una ecuación de la tangente de la línea en (h,k).

0voto

da Boss Puntos 1142

Dado un punto de P=(h,k) y una línea a través de ella L=ax+by+c=0, uno puede tener una familia de círculos s.t. la línea es tangente a P para el círculo. Esta familia está dado por Ck=(xh)2+(yk)2+kL=0. Usted puede notar que para cualquier k esto es un círculo que pasa a través de P y tiene exactamente un punto de P en común con la línea de L=0. (Tratar de solucionar Ck=0,L=0).

Si usted corrección que el círculo debe pasar a través de otro punto de Q también, entonces el círculo se determina únicamente. Como esto es exactamente lo que está haciendo cuando se establece k=λ, se obtiene la ecuación de la única círculo.

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