¿Forma alternativa de la ecuación del círculo?

Question

En un conjunto de problemas que me de problemas, una de las soluciones utiliza la ecuación de un círculo en forma

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 + \lambda(ax + by +c) = 0$$

donde,

$(h,k)$ es cualquier punto en el círculo

$ax+by+c = 0 \ $ es la ecuación de la tangente en el punto $(h,k)$ y $\lambda$ es una constante evaluada ajustando la ecuación al otro punto conocido en el círculo.

No veo cómo hemos llegado a esta ecuación. ¿Podrian ayudarme por favor?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, considerar los puntos $P=(h,k)$, $P'=(-h,-k)$ y $Z=(x,y)$ en un círculo, cuyo centro es el origen $O=(0,0)$. Ver la siguiente figura:

Es un hecho bien conocido que los tres puntos forman un ángulo recto del triángulo.

Recordemos que el cuadrado de la longitud de un cathetus ($||Z-P||$) es igual al producto de las longitudes de su proyección ortográfica de la hipotenusa ($m$) veces la longitud de este ($2||O-P||$).

Pero $m$ puede ser calculado por:

$$m= (Z-P)\cdot \frac{(O-P)}{|| O-P ||}$$

Por lo tanto, tenemos: $$ ||Z-P||^2 = (Z-P)\cdot \frac{(O-P)}{|| O-P ||} (2 || O-P ||) \Rightarrow $$ $$(x-h)^2+(y-k)^2=-2(x-h)h-2(y-k)k \Rightarrow$$ $$(x-h)^2+(y-k)^2 + 2h(x-h)+ 2k(y-k) = 0 \quad(1)$$

La relación $(1)$ es por lo tanto un círculo ecuación.

Tenga en cuenta que la expresión $$2h(x-h)+ 2k(y-k) = 0$$ es una ecuación de la recta tangente en el punto de $P$.

Así que si usted elige un adecuado $\lambda$ tal que $$2h(x-h)+ 2k(y-k) = \lambda (ax+by+c)$$ usted obtendrá: $$(x-h)^2+(y-k)^2 + \lambda (ax+by+c) = 0. \quad(2)$$ Y hemos terminado.

Answer 2

La ecuación de $C_2$ es $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ $C_1$, es $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$.

Ahora, haga la traducción el centro $C_2$ centro de $C_1$ entonces: $$C_1=(x-h+m-h)^2+(y-k+n-k)^2=r^2$ $ $$C_1=(x-h)^2+2(x-h)(m-h)+(m-h)^2+(y-k)^2+2(y-k)(n-k)+(n-k)^2=r^2$ $ $$C_1=(x-h)^2+(y-k)^2+2(x-h)(m-h)+2(y-k)(n-k)=0$ $ tenga en cuenta que $$2(x-h)(m-h)+2(y-k)(n-k)=2x(m-h)-2h(m-h)+2y(n-k)-2k(n-k)=0$ $ es una ecuación de la tangente de la línea en $(h,k)$.

Answer 3

Dado un punto de $P=(h,k)$ y una línea a través de ella $L=ax+by+c=0$, uno puede tener una familia de círculos s.t. la línea es tangente a $P$ para el círculo. Esta familia está dado por $C_k=(x-h)^2+(y-k)^2+kL=0$. Usted puede notar que para cualquier $k$ esto es un círculo que pasa a través de $P$ y tiene exactamente un punto de $P$ en común con la línea de $L=0$. (Tratar de solucionar $C_k=0, L=0$).

Si usted corrección que el círculo debe pasar a través de otro punto de $Q$ también, entonces el círculo se determina únicamente. Como esto es exactamente lo que está haciendo cuando se establece $k=\lambda$, se obtiene la ecuación de la única círculo.