Secuencia exacta de término de seis

Question

Estoy tratando de entender la prueba de este corolario $5.4$, pero la prueba en sí es demasiado corto. Se basa en el teorema de $5.1$, la cual es:

Estoy tratando de relacionar la $g$ desde el corolario del teorema. En el teorema, al $g$ es trivial, $f$ $h$ son epimorphism y monomorphism. Si al menos $g$ eran triviales, tendría que al menos un homomorphism.

Estoy tratando de buscar otra manera: suponiendo $f$ $h$ son triviales, pero entonces no mono ni epi, así que esto no ayuda tampoco...

Para $b\iff c$, creo que el $f$ $h$ ser trivial, a continuación, $\ker k = \{0\} \implies k$ mono. Ahora $f$ ser trivial, $\ker f = im d= 0$, ¿verdad? Si la imagen es$0$, ¿cómo puede ser epi? Algo está mal aquí.

Answer 1

Centrémonos en esta "parte" de la secuencia: $$A\overset d \longrightarrow B\overset f\longrightarrow C\overset g\longrightarrow D$ $

Aplicamos el teorema 5.1 $f$. Por este teorema $f$ es que el trivial homomorfismo iff $d$ es que un epimorphism iff $g$ es un monomorfismo.

Análogamente, si consideramos la "porción": $$C\overset g\longrightarrow D\overset h\longrightarrow E\overset k\longrightarrow F$ $

Aplicando teorema 5.1 $h$ encontramos que el $h$ es la trivial homomorfismo iff $k$es un monomorfismo iff $g$ es un epimorphism.

De lo anterior sigue inmediatamente (a)$\iff$(b) y (b)$\iff$(c).

Answer 2

Si $f$ es trivial $ker(f) = B$, pero a partir de la muy definiotion de la exacta secuencia sabes que $ker(f) = im(d)$ por lo tanto, $d $ es epi. Creo que puede haber confundido el concepto de una imagen y núcleo.

$f$ es trivial lo que significa que envía todo a cero - por lo tanto, cada elemento del dominio se encuentra en el núcleo