Fórmula asintótica para $k$-las particiones de un número

Question

Fórmula asintótica para todas las particiones de un número viene dado por

$$p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}}$$

Sólo una fracción de aquellos será $k$-particiones. ¿Qué es fórmula asintótica para $k$-las particiones de un número?

$$p(n,k) \sim ?$$

Answer 1

La tasa de crecimiento es $\Theta(n^{k-1})$. El número total de $k$-combinaciones (particiones donde importa el orden) es $\binom{n-1}{k-1}$. Por lo tanto $$ \frac{1}{k!} \binom{n-1}{k-1} \leq p(n,k) \leq \binom{n-1}{k-1}.

También es fácil obtener una serie generación teniendo en cuenta las particiones conjugadas: $$P_k = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x^2} \cdots \frac{1}{1-x^k}. $ $ la raíz con multiplicidad mayor es $1$, con multiplicidad de $k$. Fracción parcial descomposición da %#% $ de #% es el coeficiente de$$ P_k = \frac{1}{k!(1-x)^k} + \cdots. x^n(1-x)^{-k}$. Por lo tanto tenemos %#%$ #%