Sea $M$ una $n$-variedad compacta y conexa sin borde, donde $n \ge 2$. ¿Cómo puedo ver que si $M$ no es orientable, entonces el subgrupo de torsión de $H_{n-1}(M, \mathbb{Z})$ es cíclico de orden $2$ y $H_n(M, \mathbb{Z}_q)$ es cero si $q$ es impar y es cíclico de orden $2$ si $q$ es par?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Anubhav.K
Puntos
1982
Observe que una variedad no orientable $M$ es $R$-orientable si y solo si $R$ contiene una unidad de orden $2$, lo cual es básicamente lo mismo que $2=0$ en $R$. Por lo tanto, si $M$ no es orientable, entonces $M$ no es orientable para $R$ cuando $Z_m$ donde $m\geq 3$.
Ahora, si $M$ (una variedad n-dimensional conectada y cerrada) no es orientable para $R$, entonces como sugiere el teorema 3.26 de Hatcher (página 236), existe un mapa inyectivo $H_n(M;R) \to R$ con imagen {$r\in R | 2r=0$}. Por lo tanto, si $m$ es impar, entonces la imagen es trivialmente cero. Y si $m$ es par, entonces contiene solo dos elementos, por lo que $H_n(M,Z_{2m})= Z_2.
Ahora $H_n(M,\mathbb{Z})=0$. Entonces, el teorema universal de coeficientes para homología implica que $Tor(H_{n-1}(M),Z_m)= H_n(M,Z_m)$. Ahora, si $H_{n-1}$ tiene alguna torsión diferente de $Z_2$, entonces existe algún entero $k>2$ tal que $Tor(H_{n-1}(M),Z_k)$ es (mayor que) $Z_k$ (lo cual contradice nuestra última observación). Por lo tanto, se ve obligado que la torsión de $H_{n-1}(M,\mathbb{Z})=Z_2.
Ahora, para tu última línea, usa la propiedad de que $Tor(Z_m,Z_n)= Ker\{Z_n\to_m Z_n\}$. (para más detalles, ver la página 265 de Hatcher).
Kevin Dong
Puntos
5476
El homomorfismo de transferencia de la cubierta de orientación, compuesto con el pushforward, es la multiplicación por $2$. La imagen es abeliana libre ya que la homología $(n-1)$-integral de la cubierta de orientación es según mi respuesta aquí, por lo tanto, la única torsión en $H_{n-1}(X, \mathbb{Z})$ es la de grado $2$. Aplicando el teorema del coeficiente universal para $H_n$ con coeficientes $\mathbb{Z}/2$ por la $Z/2$-orientabilidad de cada variedad, vemos que el término $\text{Tor}$ es precisamente $\mathbb{Z}/2$, por lo tanto, la torsión en $1$ grado menor es precisamente $\mathbb{Z}/2$. Aplicando el mismo teorema para $\mathbb{Z}/q$, encontramos la conclusión deseada.
