Spivak ' s cálculo (capítulo 2, ejercicio 17)

Question

Estoy teniendo problemas para completar el ejercicio 17 del capítulo 2 de Spivak del Cálculo. En este ejercicio, el lector se pregunta a demostrar que para todos los números naturales $n$$p$, existen números reales $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ tal forma que: $$\sum_{k = 1}^n k^p ~=~ \frac{n^{p + 1}}{p + 1} + \sum_{i = 1}^p \alpha_in^i$$ El intento de la prueba de la identidad que yo inventé utiliza el teorema del binomio con $p$ $n$ fijo, pero no uso completo de la inducción. La prueba de la identidad por Spivak utiliza el teorema del binomio con $n$ fijo, sino que utiliza completar la inducción en $p$ para completar la prueba. Lo que sigue es mi intento de prueba.

En esta prueba, me aplique $(x + 1)^{y + 1}$ $(n + 1)^{p + 1}$ a el teorema del binomio, a fin de obtener el primer y segundo términos de la suma en el lado izquierdo de la identidad para ser probado. En primer lugar, tenga en cuenta que la aplicación de $(x + 1)^{y + 1}$ a el teorema del binomio, donde $x$ es un número real y $y$ un número natural, demuestra que el predicado $\phi(x,y)$ es verdadera para todos los números reales $x$ naturales y los números de $y$: $$\phi(x,y) ~\equiv~ (x + 1)^{y + 1} - x^{y + 1} ~=~ (y + 1)x^y + \sum_{i = 0}^{y - 1} {y + 1 \choose i} x^i$$ Ahora, supongamos que el $n$ $p$ son números naturales. Entonces la suma de la izquierda lados de las identidades $\phi(k,p)$ y la suma de los lados derechos de las identidades $\phi(k,p)$$k = 1,\ldots,n$, son iguales: $$(n + 1)^{p + 1} - 1 ~=~ \sum_{k = 1}^n (p + 1)k^p + \sum_{k = 1}^n \left ( \sum_{i = 0}^{p - 1} {p + 1 \choose i} k^i \right )$$ La reescritura de $(n + 1)^{p + 1}$ usando la identidad de $\phi(n,p)$ y dividiendo ambos lados de la identidad por $p + 1$ da $$\sum_{i = 1}^n k^p ~=~ \frac{n^{p + 1}}{p + 1} + \sum_{i = 0}^p {p + 1 \choose i} \left ( \frac{1}{p + 1}\right ) n^i - \left [\frac{1}{p + 1} + \sum_{k = 1}^n \left ( \sum_{i = 0}^{p - 1} {p + 1 \choose i} \frac{k^i}{p + 1} \right ) \right ]$$ Suponiendo que yo no tenía ningún algebraica de los errores, me han demostrado que no se $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ tales que la suma de los $p$th poderes de la primera $n$ números naturales puede ser escrita en la forma indicada. Por otro lado, Spivak se deriva de una identidad que contenga la suma de los $r$th poderes de la primera $n$ números naturales, para $r \leq p$, luego se aplica una hipótesis de inducción para obtener el caso de $p + 1$. No estoy seguro de si mi prueba de que está mal, y si me falta algo que requeriría una prueba por inducción. Hay un error?

Referencia: escribí funciones que calcular la suma de los $p$h potencia de la primera $n$ números, y una versión de la última identidad derivada antes de la expansión de $(n + 1)^{p + 1}$ $\phi(n,p)$ en Haskell. Ambos calculados los mismos números para todos los valores de $n \leq 100$$p \leq 10$, así que por un par de números no parece haber ningún problema. Por supuesto, hay más números es mayor que el número de casos que he probado.

Answer 1

Él le dice que use la inducción. En mi copia, solo dice:

El uso de los métodos de resolución de $6$ a demostrar que $$\sum_{k=0}^n k^p$$ puede ser escrita en la forma

$$\frac{n^{p+1}}{p+1}+An^{p}+Bn^{p-1}+Cn^p+\dots$$

El realmente importante aquí es

$$\frac{n^{p+1}}{p+1}$$

y más tarde se enterará de por qué.

Básicamente, sugerencias de uso de la "recursivo" truco para la obtención de

$$S_{p+1}$$ from $S_p,\dots,S_1$

donde $$S_p=\sum_{k=0}^n k^p$$

Digamos que queremos $$S_2=\sum_{k=0}^n k^2$$

A continuación, tomamos nota de que $$(k+1)^3=3k^2+3k+1$$

Así que

$$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$$

Ahora se nos suma $k=1,\dots,n$.

$$\sum_{k=1}^n(k+1)^3-k^3=3\sum_{k=1}^nk^2+3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1$$

$$(n+1)^3-1^3=3\sum_{k=1}^nk^2+3\frac{n(n+1)}{2}+n$$

$$\frac{{{{(n + 1)}^3}}}{3} - \frac{{n + 1}}{2} - \frac{{n(n + 1)}}{2} = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}$$

(Expansión de lado).

Así que la idea es que supongamos el resultado cierto para $p=1,\dots,l$ y probarlo para $l+1$. Nota: usted no debería ser demasiado explícito acerca de los coeficientes, y la inducción se debe hacer en $p$, no en $n$.