Estoy teniendo problemas para completar el ejercicio 17 del capítulo 2 de Spivak del Cálculo. En este ejercicio, el lector se pregunta a demostrar que para todos los números naturales $n$$p$, existen números reales $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ tal forma que: $$ \sum_{k = 1}^n k^p ~=~ \frac{n^{p + 1}}{p + 1} + \sum_{i = 1}^p \alpha_in^i$$ El intento de la prueba de la identidad que yo inventé utiliza el teorema del binomio con $p$ $n$ fijo, pero no uso completo de la inducción. La prueba de la identidad por Spivak utiliza el teorema del binomio con $n$ fijo, sino que utiliza completar la inducción en $p$ para completar la prueba. Lo que sigue es mi intento de prueba.
En esta prueba, me aplique $(x + 1)^{y + 1}$ $(n + 1)^{p + 1}$ a el teorema del binomio, a fin de obtener el primer y segundo términos de la suma en el lado izquierdo de la identidad para ser probado. En primer lugar, tenga en cuenta que la aplicación de $(x + 1)^{y + 1}$ a el teorema del binomio, donde $x$ es un número real y $y$ un número natural, demuestra que el predicado $\phi(x,y)$ es verdadera para todos los números reales $x$ naturales y los números de $y$: $$ \phi(x,y) ~\equiv~ (x + 1)^{y + 1} - x^{y + 1} ~=~ (y + 1)x^y + \sum_{i = 0}^{y - 1} {y + 1 \choose i} x^i$$ Ahora, supongamos que el $n$ $p$ son números naturales. Entonces la suma de la izquierda lados de las identidades $\phi(k,p)$ y la suma de los lados derechos de las identidades $\phi(k,p)$$k = 1,\ldots,n$, son iguales: $$(n + 1)^{p + 1} - 1 ~=~ \sum_{k = 1}^n (p + 1)k^p + \sum_{k = 1}^n \left ( \sum_{i = 0}^{p - 1} {p + 1 \choose i} k^i \right )$$ La reescritura de $(n + 1)^{p + 1}$ usando la identidad de $\phi(n,p)$ y dividiendo ambos lados de la identidad por $p + 1$ da $$ \sum_{i = 1}^n k^p ~=~ \frac{n^{p + 1}}{p + 1} + \sum_{i = 0}^p {p + 1 \choose i} \left ( \frac{1}{p + 1}\right ) n^i - \left [\frac{1}{p + 1} + \sum_{k = 1}^n \left ( \sum_{i = 0}^{p - 1} {p + 1 \choose i} \frac{k^i}{p + 1} \right ) \right ] $$ Suponiendo que yo no tenía ningún algebraica de los errores, me han demostrado que no se $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ tales que la suma de los $p$th poderes de la primera $n$ números naturales puede ser escrita en la forma indicada. Por otro lado, Spivak se deriva de una identidad que contenga la suma de los $r$th poderes de la primera $n$ números naturales, para $r \leq p$, luego se aplica una hipótesis de inducción para obtener el caso de $p + 1$. No estoy seguro de si mi prueba de que está mal, y si me falta algo que requeriría una prueba por inducción. Hay un error?
Referencia: escribí funciones que calcular la suma de los $p$h potencia de la primera $n$ números, y una versión de la última identidad derivada antes de la expansión de $(n + 1)^{p + 1}$ $\phi(n,p)$ en Haskell. Ambos calculados los mismos números para todos los valores de $n \leq 100$$p \leq 10$, así que por un par de números no parece haber ningún problema. Por supuesto, hay más números es mayor que el número de casos que he probado.
