Límite de una secuencia que implica la raíz de un factorial: $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{ \sqrt [n]{n!}}$

Question

Necesito comprobar si $$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{ \sqrt [n]{n!}}$ $ converge o no. Además, quería mostrar que la secuencia es Monótonamente creciente en n y por lo tanto el límite existe. Cualquier ayuda es apreciada. Había intentado tomar registro y manipulación de la secuencia pero no pude demostrar monotonía de esta manera.

Answer 1

Lo que tienes es realmente una integral indefinida en disfraz. Consideremos primero la inversa de lo que tiene:\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^{1/n}}{n} & = & e^{{\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\frac{k}{n}\right)}}\\ & = & e^{{\displaystyle \int_{0}^{1}\ln xdx}}\\ & = & e^{-1}. \end{eqnarray *} por lo tanto obtenemos que \lim_{n\to\infty}\frac{n}{(n!) $$ ^ {1/n}} = e. $$

Answer 2

Alternativamente, puede utilizar el hecho de que una secuencia de $(a_n)$ de términos positivos, si $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} {a_{n+1}\over a_n}$ existe, entonces también lo hace $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\root n\of{a_n}$ y los dos límites son iguales.

Para tu problema, considere $a_n={n^n\over n!}$. Entonces ${a_ {n + 1} \over a_n} = {(n+1) ^ {n+1} \over (n + 1)!} \cdot {n! \over n ^ n} = {1\over n + 1} \cdot\Bigl ({n + 1\over n} \Bigr) ^ n\cdot (n + 1) = \Bigl (1 + {1\over n} \Bigr) ^ n \ \ \buildrel{n\rightarrow\infty}\over\longrightarrow\ \ e. $$

Así $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_{n+1}\over a_n}=e$. $\root n\of {a_n}={n\over(n!)^{1/n}}$, Tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{n\over(n!)^{1/n}}=e$ así.

Answer 3

Usar la aproximación de Stirling: $ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n $ y usted obtendrá $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{(n!) ^ {1/n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n} {(\sqrt {2 \pi n} \left (\frac {n} {e} \right) ^ n) ^ {1/n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n} {({2 \pi n}) ^ {1/2n} \left(\frac{n}{e}\right)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e} {({2 \pi n}) ^ {1/2n}} = e , $$ porque $\lim_{n\to \infty} ({2 \pi n})^{1/2n}= \lim_{n\to \infty} n^{1/n}=1$.