Cónica por tres puntos y dos rectas tangentes

Question

Salvo en situaciones degeneradas, una cónica está determinada de forma única por cinco puntos situados sobre ella. Del mismo modo, cinco rectas tangentes a una cónica definen unívocamente esa cónica. Con cuatro puntos y una recta tangente, en general hay dos cónicas que cumplen estos requisitos y, por dualidad, lo mismo ocurre con cuatro tangentes y un punto. Quedan dos casos, uno dual del otro, a saber, tres puntos y dos tangentes y viceversa. En esos casos, hay en general cuatro soluciones posibles. Algunas de ellas pueden ser complejas.

Cuál es la forma más elegante de encontrar estas cuatro cónicas que pasan por tres puntos dados $A,B,C$ y son tangentes a dos rectas dadas $g,h$ ?

Tengo algún algoritmo para hacer esto, pero su núcleo radica en encontrar raíces de dos ecuaciones cuárticas distintas, una para cada punto de contacto, y luego emparejar las soluciones numéricamente. Los coeficientes de las ecuaciones cuárticas son enorme tanto por el espacio que necesitan para escribir como por el tamaño de los números. Puede que añada este enfoque como respuesta si no surge nada mejor.

Espero que alguien encuentre la forma de traducir este problema a la intersección de dos cónicas, de tal forma que cada punto de intersección corresponda a una solución sin necesidad de hacer coincidir las cosas. Pero otra solución elegante también sería bienvenida.

Answer 1

El comentario de Narasimham me ha hecho ver una forma muy elegante de abordar este problema. La figura anterior puede interpretarse como la proyección ortogonal de un cono recto cuyo eje se encuentra en el plano. El cono interseca al plano en las dos líneas, $g$ y $h$ . Los puntos $A,B,C$ son de hecho puntos del cono, por lo que se encuentran por encima o por debajo del plano, pero se proyectan ortogonalmente en el plano. Estos tres puntos en el espacio definen un plano, y ese plano interseca al cono en una sección cónica. La proyección ortogonal de esa sección cónica es de nuevo una sección cónica, concretamente una de las cuatro indicadas en la figura. Las cuatro soluciones diferentes proceden de distintas elecciones sobre cuál de los puntos $A,B,C$ están por encima del plano y cuáles por debajo. Como reflejar todo en el plano no afecta a la cónica proyectada resultante, uno de los tres puntos puede elegirse arbitrariamente, mientras que los otros dos permiten cada uno dos elecciones posibles, lo que lleva a $2^2=4$ soluciones generalmente distintas.

Hagámoslo un poco más explícito. Utilizando un transformación proyectiva definida por cuatro puntos y sus imágenes se puede llegar a una situación en la que las líneas $g$ y $h$ se cruzan en el punto $(0:0:1)$ la línea $g$ interseca la línea $AB$ en $(1:0:0)$ y la línea $h$ interseca la línea $AB$ en $(0:1:0)$ . Además, $C=(1:1:1)$ puede ser el cuarto punto que define esta transformación. Entonces $A=(a:1:0)$ y $B=(b:1:0)$ describen la situación hasta esa transformación proyectiva, por lo que sólo tenemos que tratar con dos parámetros $a,b\in\mathbb R$ salvo en algunas situaciones degeneradas (como cuando $A$ o $B$ mentiras sobre $h$ ).

Ahora levante todo hasta el cono. Ese cono tiene una apertura de $\frac\pi2$ . En coordenadas afines, se puede describir como el conjunto de puntos $(x,y,z)$ que satisface $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + z^2$ o lo que es lo mismo $2xy = z^2$ . Pero somos libres de escalar el $z$ coordinado por $\sqrt2$ por lo que también podríamos utilizar

$$xy=z^2\tag1$$

como ecuación del cono. Esa ecuación ya es homogénea, por lo que podemos introducir las coordenadas $(x:y:z:w)$ en eso y encontrar que $w$ es irrelevante. Trasladando los puntos 2d anteriores a 3d obtenemos $A=(a:1:\pm\sqrt a:0)$ y $B=(b:1:\pm\sqrt b:0)$ así como $C=(1:1:1:1)$ . El plano que abarcan estos tres puntos se caracteriza por

$$\begin{vmatrix}1&\pm\sqrt a&0\\1&\pm\sqrt b&0\\1&1&1\end{vmatrix}x -\begin{vmatrix}a&\pm\sqrt a&0\\b&\pm\sqrt b&0\\1&1&1\end{vmatrix}y +\begin{vmatrix}a&1&0\\b&1&0\\1&1&1\end{vmatrix}z -\begin{vmatrix}a&1&\pm\sqrt a\\b&1&\pm\sqrt b\\1&1&1\end{vmatrix}w =0\tag2$$

Si introducimos nuevos símbolos $p_i$ para los coeficientes de este plano, podemos acortarlo a

\begin{align*} p_1x + p_2y + p_3z + p_4w &= 0 \\ p_1x + p_2y + p_4w &= -p_3z \\ (p_1x + p_2y + p_4w)^2 &= p_3^2xy \tag3 \end{align*}

Se trata de una ecuación cuadrática homogénea en $(x:y:w)$ y como tal describe una cónica en el plano original. Ahora se puede deshacer la transformación proyectiva que condujo a las coordenadas especiales, y ya está. Las cuatro opciones posibles para los signos de $\pm\sqrt a$ y $\pm\sqrt b$ dará lugar a las cuatro cónicas posibles.