¿Por qué no existe tal función?

Question

No pude probar lo siguiente:

Una función $f \in \mathscr{C}^2([0, \pi])$, tal que $$f(0) = f(\pi) = 0, \\ \int_0^{\pi} (f) ^ 2dx = 1, \\ \text{and} \int_0^{\pi} (f (x)) ^ 2dx = 2$ $ entonces no existe tal función.

Creo que tengo que utilizar el cociente de Rayleigh y una contradicción para el valor propio $\frac{1}{2}$. Gracias de antemano.

Answer 1

Existe. Por ejemplo, $$f(x)=a x(\pi-x)+bx^2(\pi-x)$ $ $a\approx-0.718151$, $b\approx 0.290939$ (valores exactos son demasiado tiempo para escribir pero se pueden encontrar fácilmente).

Otro ejemplo: $$f(x)=2\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin^2x-\frac{32\sqrt{2}+\sqrt{2048-144\pi^2}}{6\pi^{3/2}}\sin x.$ $

Tal vez has olvidado mencionar alguna otra condición en $f$.

Answer 2

Esto fue significada como un comentario a la respuesta de S.A., pero era demasiado largo:

Aquí es una matriz de los cuatro valores de $(a,b)$ $f(x)=(a+bx)x(\pi-x)$ que satisfagan las condiciones dadas:

$$ \left (\begin{array}{cc} \frac{\pi ^{5/2} \sqrt{210 \left(-5+\pi ^2\right)}-\sqrt{630 \pi ^5-30 \pi ^7}}{4 \pi ^5} , -\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \left(-525+105 \pi ^2\right)}}{\pi ^{7/2}} \\[6pt] \frac{\pi ^{5/2} \sqrt{210 \left(-5+\pi ^2\right)}+\sqrt{630 \pi ^5-30 \pi ^7}}{4 \pi ^5} , -\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \left(-525+105 \pi ^2\right)}}{\pi ^{7/2}} \\[6pt] \frac{-\pi ^{5/2} \sqrt{210 \left(-5+\pi ^2\right)}-\sqrt{630 \pi ^5-30 \pi ^7}}{4 \pi ^5} , \frac{\sqrt{\frac{1}{2} \left(-525+105 \pi ^2\right)}}{\pi ^{7/2}} \\[6pt] \frac{-\pi ^{5/2} \sqrt{210 \left(-5+\pi ^2\right)}+\sqrt{630 \pi ^5-30 \pi ^7}}{4 \pi ^5} , \frac{\sqrt{\frac{1}{2} \left(-525+105 \pi ^2\right)}}{\pi ^{7/2}} \end{matriz} \right) $$

Answer 3

Creo que para user40276 menciona el cociente de Rayleigh, quiso demostrar que

No existe tal $f\in C^2$ solución de los Dirichlet autovalor problema para $$-\Delta f= -f''= \lambda f\tag{1}$$ en el intervalo de satisfacer esas condiciones.

Observe la condición significa que el $f$ es un eigenfunction de $-\Delta$ con autovalor $2$. Todos los eigenfunction tienen la forma $$v(x) = A\sin(\sqrt{\lambda}x) + B\cos(\sqrt{\lambda}x)$$ que resuelve el problema (1). Ahora para la condición de contorno: $$ v(0) =0 \implica B=0, $$ por lo $v(x) = A\sin(\sqrt{\lambda}x)$, ahora aplicamos la otra condición de frontera: $$ v(\pi) =0 \implica Un\sin(\sqrt{\lambda}\pi) = 0\implica \sqrt{\lambda} = k\in \mathbb{Z}. $$ Esto dice que el autovalor para el problema (1) sólo se puede completar plazas, $1,4,9,\ldots$. Por lo tanto $2$ no puede ser uno.

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ACTUALIZACIÓN: OP actualizado que el autovalor es un problema que debe ser $$f' + \lambda f = 0,\tag{2}$$ a continuación, la primera integración condición es $$ \int_0^{\pi} \big(f'(x)\big)^2dx = \int_0^{\pi} \big(\lambda f(x)\big)^2dx= 2, $$ junto con la segunda implica $\lambda = \pm\sqrt{2}$. La solución a $(2)$$f = Ce^{\pm \sqrt{2} x}$. Aviso aquí no es $f =c_1 e^{\sqrt{2} x} + c_2 e^{-\sqrt{2} x}$, $f$ puede ser sólo uno, no una combinación lineal de ambos. Así que no hay manera $f(0) = f(\pi) = 0$.