Trayectorias Ortogonales

Question

Se me pide que muestran que el dado a las familias de curvas ortogonales a las trayectorias de cada uno de los otros.

$$x^2+y^2=ax$$ $$x^2+y^2=by$$

Sé que las dos funciones se llama ortogonal si en cada punto de sus líneas tangentes son perpendiculares uno al otro. Si puedo diferenciar ambas de estas funciones, y las expresiones resultantes son recíprocos uno del otro, me han demostrado que son trayectorias ortogonales de cada uno de los otros.

1. $$x^2+y^2=ax$$ $$2x+2yy'=a'x+x'a$$ $$y'=\frac{a-x}{2y}$$

1. $$x^2+y^2=by$$ $$2x+2yy'=b'y+y'b$$ $$y'=\frac{b-2x}{y}$$

Los resultados que obtengo a partir de la diferenciación de estas dos funciones no parecen ser recíprocos uno del otro. Me pregunto si tengo diferencian estas dos funciones de forma incorrecta, o si hay un punto de sustitución que se muestran estos dos son recíprocos.

Answer 1

Suponga que los dos curvas están definidas por $x^2+y^2=ax$$x^2+y^2=by$ , $a,b$ reales y constantes. Para comparar la tangente de la línea de laderas en determinados puntos para cada curva, podemos diferenciar la primera ecuación para encontrar la que $$ 2x + 2yy' = ~~\text{y así}~~y' = \frac{a-2x}{2y}~~, $$ y el segundo para encontrar que $$ 2x + 2yy' = '~~\text{y así}~~ y' = \frac{2x}{b-2y}~~. $$ Estas respuestas son diferentes de las que tiene ... tenga en cuenta que lo que yo hice fue el grupo de términos que contengan $y'$ en un lado de la ecuación, y se dividen a través de por lo que el factor de la acompañó.

Estamos en el negocio mientras que el producto de estas dos cantidades, para un determinado par de $(x,y)$ donde las curvas se cruzan, se $-1$. Así, se multiplican uno por el otro y tenemos $$ \frac{2x(a-2x)}{2y(b-2y)} = \frac{x(a-2x)}{y(b-2y)} ~~. $$ Creo que el problema que se encontró es que no está claro (en un sentido algebraico de todos modos) que estos factores se deben cancelar en cualquier forma. Pero recuerde, ¡ya estamos mirando a un punto donde las dos curvas nos dieron cruzan, se puede aplicar tanto de dichas ecuaciones. ¿Dónde se $a-2x$ aparecen?

Así tenemos $x^2 + y^2 = ax$ , por lo que $ax - x^2 = y^2$ , $ax - 2x^2 = y^2 - x^2$ , y $x(a-2x) = y^2-x^2$. Ahora ten paciencia conmigo, aunque esto puede no parecer más sencilla, se observa que por la misma razón, $$ x^2 + y^2 = ~~\text{significa que}~~-2y^2 = x^2-y^2 ~~\text{y así}~~ y(b-2y) = x^2-y^2 ~~. $$ Los factores que en la parte superior e inferior son de hecho los mismos a un lado por un signo de cambio, así las dos vertientes son negativos recíprocos.

BTW: UN útil, e incluso bastante ejercicio es en realidad la trama de algunas de estas curvas ortogonales. En este caso, te darás cuenta de que la primera familia de círculos con un $x$-desplazamiento del centro en el origen, mientras que la segunda familia de círculos con un $y$-offset. Es claro por qué estos son ortogonales?

Answer 2

Inicio de la primera familia de curvas como este: $$x^2+y^2=ax \longrightarrow 2x+2yy'=a$$ $$\longrightarrow y'=\frac{a-2x}{2y}$$ we see that $a=\frac{x^2+y^2}{x}$ so put it to the last result above. we get:$$y'=\frac{y^2-x^2}{2xy}$$ Now if you want to find orthogonal trajectories of the first family you should solve: $$y'=-\frac{2xy}{y^2-x^2}$$ which is homogenous equation. Solve it and you will find the second family of curves with choosing suitable constant $b$ en la última solución.

Answer 3

generalmente dos ecuaciones de las curvas son perpendiculares uno al otro,si el producto de sus pendientes es $-1$. de primero tenemos $2*x+2*y*y'=a$ $2*y*y'=a-2*x$ finalmente tenemos a $y'=(a-2*x)/(2*y)$ a partir de la segunda curva

$2*x+2*y*y'=b*y'$ o $2*x=b*y'-2*y*y'$.

factor y',tendremos $2*x=y'(b-2*y)$ $y'=(2*x)/(b-2*y)$ si son ortogonales,que dependen de lo que los puntos de $(x,y)$ tenemos,simple, usted necesita los puntos para poner y ver si el producto de las pendientes es $-1$