Cómo construir un simple complejo de toro de dimensión $\geq 2$?

Question

Este es un ejercicio en el primer capítulo de "Complejo de Abelian Variedades" por Christina Birkenhake y Herbert Lange. Como el título sugiere que se pide para un ejemplo de un complejo toro de dimensión $\geq 2$ no admitir cualquier trivial complejo subtorus.

La siguiente es lo que he intentado para la dimensión 2. Por un cambio de coordenadas sobre $\mathbb{R}$, podemos asumir que el enrejado es $\mathbb{Z}^4$. La pregunta es equivalente a la construcción de una $4\times 4$ real de la matriz $J$ tal que $J^2=-\mathrm{Id}$ $J$ no tiene no trivial subespacios invariantes que son distribuidos por vectores con coeficientes racionales. Deje $J$ ser una matriz, entonces para cualquier valor distinto de cero $v_1 \in \mathbb{Q}^4$, debemos tener $Jv_1 \neq xv_1+yv_2$ cualquier $v_2\in \mathbb{Q}^4$$x,y \in \mathbb{R}$. Para lograr esto, se nota que el campo generado por las coordenadas de $xv_1+yv_2$ tiene a lo más trascendental grado 2 $\mathbb{Q}$, así que si podemos elegir $J$ con muchos independiente transcental entradas, que $Jv$ tienen alta trascendental grado por encima del $\mathbb{Q}$ todos los $v\in \mathbb{Q}$, entonces el problema está resuelto. Pero es en este lugar me quedé atrapado. Intuitivamente, creo que esto es factible. Pero estoy teniendo problemas para escribir este tipo de matriz.

Por supuesto, probablemente hay otros enfoques para el problema (el Jacobiano de una curva, en general, la posición de género $n\geq 2$, por ejemplo).

Gracias.

Edit: también debo suponer que $\det(J)=1$, por lo que preserva la orientación. Creo que la solución probablemente este aspecto: consideramos el espacio de todas las estructuras complejas en $\mathbb{R}^4$. Cada una de las $2$ dimesnional subespacio de $\mathbb{Q}^4$ define un "subvariedad" en este espacio, es decir, todas las $J$'s que preservar este subespacio. Estos nos da countably muchos de estos "subvariedades". La intuición nos dice que estos no debe ser capaz de cubrir el espacio grande. Pero todavía tengo que hacer todo lo preciso.

Answer 1

No he probado esta mirando condiciones en la estructura compleja, pero no es un esquema en Shafarevich el libro sobre cómo hacer esto mediante la búsqueda de una condición en el entramado $\Lambda$.

Básicamente, vamos a $\Lambda = s_1 \mathbb Z \oplus s_2 \mathbb Z \oplus s_3 \mathbb Z \oplus s_4 \mathbb Z$ donde $s_i$ son vectores en $\mathbb C^2$ (los detalles de $n \geq 3$ son similares). También escribo $s_i = (\alpha_i,\beta_i)$ para algunos de los números complejos $\alpha_i$$\beta_i$.

Deje $X = \mathbb C^2 / \Lambda$ ser nuestro toro, y supongamos que admite una curva de $C$ (no necesariamente nonsingular). La curva de $C$ define toda una 2-homología de clase $[C]$ por la integración, y esta clase es distinto de cero (integrar una forma de volumen en $X$ más).

Ahora, como usted seguramente sabe, de 2 de toro es diffeomorphic a $\mathbb R^4 / \mathbb Z^4$, por lo que el 2-homología de $X$ es generado por seis clases de $S_{ij}$ correspondiente a la 2-real-dimensional caras de $\mathbb R^4 / \mathbb Z^4$.

Considerar la holomorphic 2-formulario de $\mu = dz \wedge dw$$X$, y escribir $[C] = \sum a_{ij} S_{ij}$ para algunos enteros $a_{ij}$. Como $C$ es una curva, no conlleva la no-cero de 2 formas, por lo $\mu|_C = 0$. Entonces

$$ 0 = \int\limits_C \mu = \sum a_{ij}(\alpha_i \beta_j - \alpha_j\beta_i), $$

por explícita cálculos. Sólo tienes que calcular la integral de $\mu$$S_{ij}$, esto le da a la $\alpha_i \beta_j - \alpha_j\beta_i$ términos - el resto es por la linealidad. (Yo puede ser por un factor de 4, pero no importa).

Por lo tanto, si $X$ admite una curva, entonces los coeficientes de los parámetros $s_i$ de la celosía son linealmente dependientes sobre $\mathbb Z$. Mediante la selección de algunas raíces cuadradas de los números primos como parámetros, usted puede encontrar una explícita de celosía que no cumpla con esta condición. La correspondiente toro por lo tanto, no admiten ningún tipo de complejos, de la curva.