Intenté integrar la siguiente función de un problema de práctica de mi libro de texto de Cálculo:
$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{1+\tan^\sqrt{2}(x)}} \ {\rm d}x$$
No he podido encontrar una integral indefinida, y estoy asumiendo que obtener una integral indefinida es simplemente imposible. Usando Wolfram|Alpha para estimar la integral definida, obtuve $0.785398$ . Estoy asumiendo que esto es $\frac{\pi}{4}$ pero no tengo ninguna prueba formal de que esta sea la respuesta.
Finalmente lo descubrí gracias a una pista de Sameer Kailasa.
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{1+\tan^\sqrt{2}(x)}} \ dx$$ $$u=\frac{\pi}{2}-x \implies du=-dx$$ $$= -\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\frac{1}{1+\cot^\sqrt{2}(x)}} \ dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\tan^\sqrt{2}(x)}{\tan^\sqrt{2}(x)+1}} \ dx $$ $$=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{1+\tan^\sqrt{2}(x)}+\frac{\tan^\sqrt{2}(x)}{\tan^\sqrt{2}(x)+1}} \ dx$$ $$\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\tan^\sqrt{2}(x)}{\tan^\sqrt{2}(x)+1} \ dx =\frac{1}{2} [{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$$
El $\sqrt{2}$ es una completa pista falsa. De hecho, considere
$$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\tan^{\alpha}(x)}\,dx$$
donde $\alpha$ es cualquier número real no negativo. Entonces tenemos
\begin {align} I&= \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \frac {1}{1+ \tan ^{ \alpha }(x)}\Nde la misma manera, dx \\ &= \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \frac {1}{1+ \frac { \sin ^{ \alpha }(x)}{ \cos ^ \alpha (x)}\Ndx \\ &= \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \frac { \cos ^{ \alpha }(x)}{ \cos ^{ \alpha }(x)+ \sin ^{ \alpha }(x)}\Nde la misma manera, dx \\ &= \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \frac { \sin ^{ \alpha }(y)}{ \cos ^{ \alpha }(y)+ \sin ^{ \alpha }(y)},dy \end {align} donde en el último paso hemos utilizado la sustitución $y=\dfrac{\pi}{2}-x$ .
Ahora podemos combinar los dos últimos pasos para obtener
\begin {align} 2I&= \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \frac { \cos ^{ \alpha }(x)}{ \cos ^{ \alpha }(x)+ \sin ^{ \alpha }(x)}\Nde la misma manera, dx+ \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \frac { \sin ^{ \alpha }(x)}{ \cos ^{ \alpha }(x)+ \sin ^{ \alpha }(x)}\Nde la misma manera, dx \\ &= \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \frac { \cos ^ \alpha (x)+ \sin ^{ \alpha }(x)}{ \cos ^{ \alpha }(x)+ \sin ^{ \alpha }(x)}\Nde la misma manera, dx \\ &= \int_0 ^{ \frac { \pi {{2}} 1\,dx \\ &= \frac { \pi }{2} \end {align}
Por lo tanto, $I=\dfrac{\pi}{4}$ .
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