Creo que es correcta, pero me gustaría que otro par de ojos para comprobar.
Definición. Abierto barrio de asignación es una función de $f:X\to \tau$ tal que $x\in f(x)$.
Definición. Un espacio se dice que D o un D-espacio, si para cada abierto barrio de asignación de $f:X\to \tau$ existe un cerrado conjunto discreto tal que $f[D]$ es un cover de $X$.
Teorema. Cada espacio métrico es un D-espacio
Prueba. Deje $f:X\to\tau$ ser un barrio de asignación en un espacio métrico. A continuación, defina la función $\textit{d}:X \to \mathbb{N}$$\textit{d}(x) = \min\lbrace n\in\mathbb{N} | B_{1/n}(x)\subset f(x)\rbrace$. Puesto que esto es posible, que en realidad sólo tiene que sustituir nuestro barrio asignación con la menor asignación dada por $\lbrace B_{1 / \mathit{d}(x)}(x)\in \tau | x\in X \rbrace$. Si es posible demostrar que no es uno de esos cerrado conjunto discreto utilizando esta pequeña asignación, entonces es posible usar la asignación original. Para todos los $n\in\mathbb{N}$, definir $L_n = \lbrace x\in X|\textit{d}(x) = n\rbrace$. Enumerar $X=\lbrace x_\alpha | \alpha<\lambda\rbrace$ que si $\alpha<\beta$ entonces $x_\alpha,x_\beta\in L_i$ algunos $i$ o $x_\alpha\in L_i$ $x_\beta\in L_j$ algunos $i<j$. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $L_1$ no está vacía. Definir $D_1 = \lbrace x_1 \rbrace$. Si $x_\alpha$ no $f[\cup_{\beta < \alpha}D_{\beta}]$, luego deje $D_\alpha = \cup_{\beta < \alpha}D_{\beta}\cup \lbrace x_\alpha \rbrace$. Si $x_\alpha$ $f[\cup_{\beta < \alpha}D_{\beta}]$ dejamos $D_\alpha = \cup_{\beta < \alpha}D_{\beta}$. Deje $D=\bigcup_{\alpha\in\lambda}D_\alpha$.
La reclamación. D es discreto.
Argumento. (no hay nadie en la otra persona de la burbuja) Deje $x_\alpha,x_\beta\in D$. Desde $X$ está bien ordenado, vamos a $\alpha<\beta$. A continuación, $x_\beta \notin f(x_\alpha)$ por la construcción. Por lo tanto, $\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq 1/ \textit{d}(x_\alpha)$. Pero también, desde $\alpha<\beta$, $1/ \textit{d}(x_\alpha)\geq 1/ \textit{d}(x_\beta)$. Así tenemos a $\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq 1/ \textit{d}(x_\alpha)\geq 1/ \textit{d}(x_\beta)\Rightarrow x_\alpha\notin f(x_\beta)$.\
La reclamación. D no tiene acumulación de puntos
Argumento. Si $D$ fueron para tener un punto de acumulación, que seguramente no será un elemento de $D$ por nuestro resultado anterior. Por lo tanto vamos a $x_\alpha\in X\setminus D$. Desde $x_\alpha$ no fue elegido para estar en $D$, se deduce que existe $\beta<\alpha$ tal que $x_\alpha\in f(x_\beta)$. Deje $\epsilon>0$ tal que $B_\epsilon(x_\alpha)\subset f(x_\beta)$. Por nuestro resultado anterior, no es $y\in D$ tal que $y\in f(x_\beta)$. Por lo tanto, no $y\in D$ tal que $y\in B_\epsilon(x_\alpha)$.
