Puede ser resuelto sin necesidad de L'Hospital?

Question

Puede que este límite de ser evaluada sin l'hospital de la regla?

$$\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h}$$

Answer 1

Trate de dejar: $u= (8 + h)^{1/3} $

Por lo tanto $u^3 = 8 + h$

$h = u^3 - 8$

A continuación, el límite se convierte en:

$$\lim_{u\to2}\frac{u-2}{u^3-8} = \lim_{u\to2}\frac{u-2}{(u-2)(u^2+2u+4)}=\lim_{u\to2}\frac{1}{u^2+2u+4}$$

Answer 2

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\implies x-y=\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y2}$$

Ahora ponemos

$$x=\sqrt[3]{8+h}\;,\;\;y=2\implies \sqrt[3]{8+h}-2=\frac{8+h-8}{(8+y)^{2/3}+2\sqrt[3]{8+h}+4}\implies$$

$$\frac{\sqrt[3]{8+h}-2}h=\frac1{(8+h)^{2/3}+2\sqrt[3]{8+h}+4}\xrightarrow[h\to 0]{}\frac1{8^{2/3}+2\sqrt[3]8+4}=\ldots$$

Answer 3

SUGERENCIA:

Pensar acerca de la definición de un derivado, reconocen esta expresión, como la derivada de algo. (Y sí, esto se puede encontrar sin la regla de l'Hospital).

Answer 4

Una buena manera de resolver algunos de los límites es el uso de series de Taylor. Si usted recuerda la de Maclaurin de expansión $$(1 + x)^n = 1 + nx + \mathcal{O}(x^2)$$ se puede ver que $$\sqrt[3]{8 + h} -2 = 2\sqrt[3]{1 + h/8} -2 \approx 2\left(1 + \frac{h}{24}\right) -2 = \frac{h}{12}$$ así que el límite se convierte en $$\lim_{h \to 0} \frac{h/12}{h} = \frac{1}{12}.$$

Answer 5

\begin{align} \frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h}&= \frac{\sqrt[3]{(8+h)^2}+2\sqrt[3]{8+h}+4}{\sqrt[3]{(8+h)^2}+2\sqrt[3]{8+h}+4} \cdot \frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h} \\&=\frac{(8+h)-8}{h} \cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2}+2\sqrt[3]{8+h}+4} \to\frac{1}{12}. \end{align}