Quiero saber si hay una manera de simplificar, o una solución de forma cerrada de $tr(\Sigma^{-1})$ donde $\Sigma$ es una matriz simétrica positiva definida.
Dejemos que $A$ sea una matriz simétrica positiva definida, por lo que $\exists$ una matriz diagonal $D$ cuyas entradas diagonales son distintas de cero y $A=P D P^{-1}$ así que $A^{-1} = P D^{-1} P^{-1}$ y $Tr(A^{-1})= Tr(D^{-1})$ . Ahora $D$ siendo la matriz diagonal con entradas diagonales no nulas $D^{-1}$ tiene entradas diagonales recíprocas de las entradas diagonales de $D$ así que $Tr(D^{-1})$ es la suma de los inversos de las entradas diagonales de $D$ .
Es posible que quiera mencionar que los valores en $D$ son los Valores propios (normalmente denotado como $\lambda_j$ ) de $A$ y puede obtenerse en $\det(A-I\lambda_j)=0$ (donde $I$ denota la matriz de identidad de ajuste)
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