Supongamos $A$ es un álgebra conmutativa sobre un campo $k$.
Es bien sabido que hay un módulo que generaliza la noción de diferencial $1$-formas. Se denota $\Omega^1_{k}(A)$, y se llama el módulo de Kahler diferenciales. Por definición, se trata de un módulo sobre $A$ generado por los símbolos $da,a\in A$ satisfactorio
$dc=0$ si $c$ es "constante", es decir, $c\in k$ visto como un subconjunto de a $A$.
$d(a+b)=da+db$
$d(ab)=(da)b+a(db)$
$(da)b=b(da)$
También hay un mapa $d\colon A\to \Omega^1_{k}(A)$, $d(a):=da$ llamado de Rham diferencial.
Es bien sabido que el $\Omega^1_{k}(A)$ $d$ puede ser definido por una característica universal. Recordemos primero que un mapa de $\phi\colon A\to M$ algunos $A$-módulo de $M$ se llama una derivación de $A$ con valores en $M$ si $\phi(ab)=\phi(a)b+\phi(b)a$. A continuación, $\Omega^1_{k}(A)$ $d$ se caracterizan por la propiedad de que para cualquier derivación $X\colon A\to M$, existe una única morfismos $\mu_X\colon \Omega^1_{k}(A)\to M$ tal que $X=\mu_x\circ d$. Usted puede leer todo esto en detalles aquí.
Mi pregunta es la siguiente. Hay una similar universal descripción de de Rham diferencial $d^1\colon \Omega^1_{k}(A)\to \Omega^2_{k}(A)$? ¿Qué acerca de la $d^n\colon \Omega^n_{k}(A)\to \Omega^{n+1}_{k}(A)$? Me gustaría ver una descripción como esta:
$d^1\colon \Omega^1_{k}(A)\to \Omega^2_{k}(A)$ es un mapa de la satisfacción de algunas de sus propiedades, de tal forma que cualquier otro mapa $\Omega^1_{k}(A)\to M$ la satisfacción de estas propiedades de los factores a través de $d^1$.
Muchas gracias por su ayuda!
