En el espacio Skorohod $D[0,1]$ de las funciones de cadencia se suele considerar la norma uniforme $\|\cdot\|_{\infty}$ o el $J_1$ -métrico $\varrho$ . Me preguntaba si ambos generan el mismo Borel $\sigma$ -Álgebra:
Es de sobra conocido que
$$\varrho(f,g) \leq \|f-g\|_{\infty},$$
es decir, el $J_1$ -es más gruesa, lo que implica, en particular, que la correspondiente topología de Borel $\sigma$ -satisfacen la relación
$$\mathcal{B}((D[0,1],\varrho)) \subseteq \mathcal{B}((D[0,1],\|\cdot\|_{\infty}). \tag{1}$$
Por otro lado, se puede demostrar que $\mathcal{B}((D[0,1],\varrho))=\sigma(\pi_t;t \in [0,1])$ donde $\pi_t(f) :=f(t)$ , $t \in [0,1]$ denota la proyección natural (véase, por ejemplo, Billingsley, Convergence of Probability Measures, Theorem 12.5). Ahora, para cualquier conjunto denso contable $T \subseteq [0,1]$ , $1 \in T$ tenemos
$$B_{(D[0,1],\|\cdot\|_{\infty})}[0,1] := \{f \in D[0,1], \|f\|_{\infty} \leq 1\} = \bigcap_{t \in T} \{f \in D[0,1]; \pi_t f \in [-1,1]\} \in \sigma(\pi_t;t \in [0,1]) \stackrel{(1)}{=} \mathcal{B}((D[0,1],\varrho)).$$
por la continuidad derecha de las funciones. Una argumentación similar muestra que $B_{(D[0,1],\|\cdot\|_{\infty})}[f,\varepsilon] \in \mathcal{B}((D[0,1],\varrho))$ para cualquier $\varepsilon>0$ , $f \in D[0,1]$ . Por lo tanto,
$$\mathcal{B}((D[0,1],\varrho)) \supseteq \mathcal{B}((D[0,1],\|\cdot\|_{\infty}),$$
y esto significa que tanto Borel- $\sigma$ -son iguales. ¿Hay algo malo en esta argumentación?
