¿Por qué no puede subvariedades separado?

Question

Voy a postear mi respuesta a esta pregunta, como a su propia pregunta:

Deje $V$ ser una irreductible variedad proyectiva sobre $\mathbb{C}$. Deje $U$ ser un conjunto abierto Zariski en $V$. Voy a usar las $V(\mathbb{C})$ $U(\mathbb{C})$ a la media de $V$ $U$ equipada con su Euclidiana topologías, respectivamente.

¿Cuál es la mejor prueba de que $U(\mathbb{C})$ está conectado?

Aquí está la prueba de que yo sé: Supongo que $U(\mathbb{C})$ puede ser escrito como una discontinuo de la unión de dos conjuntos de $A$$B$. Desde el complemento de $U$ $V$ es una variedad de dimensión menor que $V$, un teorema de Remmert y Stein implica que los cierres de $\overline{A}$ $\overline{B}$ $A$ $B$ $V(\mathbb{C})$ son proyectivos de la analítica de conjuntos. Por Chow del teorema que proyectiva de la analítica de los conjuntos algebraicos son, $\overline{A}$ $\overline{B}$ son subvariedades de $V$. Ya que estamos adecuada, $V$ no es irreducible, y tenemos una contradicción.

Supongo que en realidad estoy pidiendo la más elemental argumento, ya que creo que el argumento anterior es agradable intuitivamente. Una referencia estaría bien.

(Para evitar tener que ir a través de la misma discusión en los comentarios que pasó en la otra pregunta, permítanme señalar que soy consciente de que irreducible variedades están conectados y de que $U$ es en sí mismo una variedad en el sentido de que es localmente afín. No es obvio para mí que es irreductible (sin recurrir al argumento anterior).)

Answer 1

[Este ha sido completamente reescrito en la solicitud de Richard Kent.]

Deje $X$ ser una irreductible espacio topológico y $U$ no está vacío abierto subconjunto de $X$. A continuación, $U$ también es irreductible -- véase, por ejemplo, la Proposición 141 en la página 88 aquí. (Seguramente también en Hartshorne y un montón de otros lugares, pero una de las ventajas de escribir sus propias notas es ser capaz de fácilmente a un punto de referencia, porque usted sabe exactamente donde está.)

Así pues, la cuestión se reduce al hecho de que si $X_{/\mathbb{C}}$ es un complejo irreductible variedad, a continuación, $X(\mathbb{C})$ con su "topología Euclidiana" está conectado. Para ello, véase, por ejemplo, la Sección VII.2 de Shafarevich del Básico de la Geometría Algebraica II. (De nuevo, hay otros lugares, pero creo que su discusión es especialmente bueno.) Él da dos pruebas diferentes, uno de los cuales es una simple inducción sobre la dimensión.