¿qué son los residuos en los postes de $\frac{1}{1+\cosh{z}}$?

Question

Considere la función $f(z)=\frac{1}{1+\cosh{z}}$. Tiene polos de orden 2 en impares múltiplos de $\pi i$, pero ¿qué son los residuos en los polos? He intentado usar $\frac{d}{dz} \Big((z-a)^2 f(z)\Big)$ para el residuo de a $a$, pero la respuesta a ser 0, y creo que no es correcto.

Answer 1

¿Por qué crees $0$ no es correcta? Desde $\cosh (\pi\mathrm i+z)=-\cosh z$ es una función par de $z$, por lo que es $f(\pi\mathrm i +z)$. Por lo tanto su Laurent serie contiene sólo los poderes de $z$, y, en particular, no contiene un $z^{-1}$ plazo, por lo que el residuo es, de hecho,$0$.