Estoy tratando de calcular el determinante Jacobiano de la transformada de Fourier que me topé a la hora de estudiar la Ruta Integral en la Teoría Cuántica de campos. Sé que la respuesta debería ser $1$ pero no sé cómo demostrarlo. La transformación es \begin{equation} x _n = \sum _k \frac{1}{ \sqrt{ N} }e ^{ - i 2 \pi k n/N } \tilde{x} _k \end{equation} Sé que la matriz Jacobiana es dada por \begin{equation} J _{ n,k} = \frac{ dx _n }{ d\tilde{x} _k } = \frac{1}{ \sqrt{ N}} e ^{ - i 2 \pi k n/N} \end{equation} y el determinante es entonces \begin{equation} \det J = \frac{1}{ \sqrt{ N}}\epsilon _{ k _1 k _2 ... } e ^{ - i 2 \pi k _1 1/N } e ^{ - i 2 \pi k _1 2 /N} ... \end{equation} pero no estoy seguro de cómo demuestran que esto es igual a uno. He encontrado un enlace en línea que le dice a calcular el determinante debe realizar la transformada de Fourier en dos ocasiones, pero yo no era capaz de averiguar los pasos.
Respuesta
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Deje $Q$ ser un ortonormales de la matriz. Por definición, ortonormales matrices son matrices que cumplan las siguientes condiciones:
($i$) $Q^{-1}=Q^T$. De aquí se deduce que $QQ^T=QQ^{-1}=I$ donde $I$ es la matriz identidad, una matriz cuadrada con $1$s en la diagonal, y más $0$.
($ii$) Todas las filas y columnas de una ortonormales de la matriz de satisfacer el producto interior regla de $<q_i,q_j>=0$$<q_i,q_i>=1$.
Una matriz se llama ortogonal (pero no necesariamente orthonomal) al $<q_i,q_j>=0$ mantiene. Esto significa que el ángulo entre dos pares, $i$ $j$ de los vectores de $Q$ $i\neq j$ $90$ grados. Esto se deduce simplemente de $$\cos(\theta)=\frac{<u_i,u_j>}{||u_i||||u_j||}$$ here $||u_i||=<u_i,u_i>$ is the inner product in Euclidean space ($L^2$ de la norma).
Valor absoluto del determinante de cada ortonormales de la matriz siempre es $1$. Esto puede ser demostrado al menos en dos formas diferentes:
$1$ st manera: $$1=\det(I)=\det(QQ^T)=\det(Q)\det(Q^T)=(\det(Q))^2$$ La tercera igualdad es un resultado de la determinante de dos matrices cuadradas aquí las 4 de la propiedad.
$2$ nd manera:
($i$) Por cada ortonormales de la matriz, $Q$, todos los valores singulares de a $\sigma_i$ de esta matriz son iguales a $1$
($ii$) El determinante de cualquier real de la matriz está dada por $|\det(A)|=\prod_i \sigma_i^2$
a partir de ($i$) y ($ii$) llegamos a la conclusión de que $|\det(A)|=(\prod_i 1)^2\Longrightarrow |\det(A)|=1$.
La prueba de ($i$):
Para cada real de la matriz de $Q$ tenemos la descomposición de valor singular dado por $Q=U\Sigma V^T$ donde $U$ $V$ son matrices ortonormales. Vea aquí. Uno puede seleccionar $U=Q$$V=I$. A partir de aquí obtenemos $\Sigma=I$. Desde $\Sigma$ está determinada únicamente por la descomposición de valor singular, la prueba está completa. Tenga en cuenta que $U$ $V$ no son únicas.
La prueba de ($ii$):
Para esta prueba se puede ver, ya sea esta, la proposición C. 3.7 o esta pregunta y las respuestas siguientes.
Para mostrar que $J_{n,k}$ forma una base ortonormales es fácil justificar por los propiedades de matrices ortonormales. Por lo tanto, podemos finalmente a la conclusión de que $|\det J|=1$.
