¿Cómo puedo demostrar que $v_i\otimes v_j$ es distinto de cero en $V \otimes_\mathbb {F}V$

Question

Deje $V$ es un finito dimensional espacio vectorial sobre un campo $\mathbb F.$ Deje $\rm dim (V)=n>0$ $\mathcal {B}=\{v_1,\ldots,v_n\}$ ser una base de $V.$ Ahora sabemos que la dimensión de $V \otimes_\mathbb {F}V$ $n^2$ $V \otimes_\mathbb {F}V \cong \mathbb {F^{n^2}}.$ Ahora desde el set $\mathcal {A}=\{v_i\otimes v_j:1 \leq i,j\leq n\}$ abarca $V \otimes_\mathbb {F}V$ y el número de elementos en $\mathcal {A}$ es $n^2$, $\mathcal {A}$ constituye una base para $V \otimes_\mathbb {F}V$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb F.$ De esta manera, cada elemento de a $\mathcal {A}$ es distinto de cero.

Ahora mi pregunta es si no quiero usar los argumentos anteriores, ¿cómo puedo demostrar que para cualquier $i$ $j$ el elemento $v_i\otimes v_j$ es distinto de cero en $V \otimes_\mathbb {F}V$. Por la construcción de producto tensor, si se puede demostrar entonces que me va a ayudar.

Me ayudan. Muchas Gracias.

Answer 1

Cualquiera que sea tu definición de tensor es, debe ser cierto que cualquier función bilineal $$ V\times V\longrightarrow \mathbb{F} $$ deben factor de forma exclusiva a través de $$ V\times V\longrightarrow V\otimes_\mathbb{F} V\longrightarrow \mathbb{F} $$ Ahora tomar cualquier funcional lineal $\ell :V\to\mathbb{F}$ tal que $\ell(v_i)\neq0 $$\ell(v_j)\neq 0$. Definir una función bilineal $f:V\times V\to \mathbb{F}$ $$ f(u,v) = \ell(u)\ell(v) $$ Desde $f$ es claramente bilineal, $f$ factor a través de un homomorphism $g:V\otimes_\mathbb{F} V\to \mathbb{F}$, es decir,$g(u\otimes v) = f(u,v)$. Desde $g(v_i\otimes v_j) = f(v_i,v_j) = \ell(v_i)\ell(v_j)\neq 0$, $v_i\otimes v_j$ es distinto de cero.

Answer 2

Si $(v_i,v_j)$ son no-cero no es una aplicación bilineal $\beta : V \times V \to k$ $\beta(v_i,v_j) = 1$ y por la característica universal del producto tensor obtenemos un mapa de $b : V \otimes V \to k $$b(v_i \otimes v_j) = 1$, por lo que no puede ser cero.