Dado que el $a+b\sqrt[3]{2} +c\sqrt[3]{4} =0$ donde $a,b,c$ son enteros. Espectáculo $a=b=c=0$

Question

Dado que el $\displaystyle{a+b\sqrt[3]{2} +c\sqrt[3]{4} =0}$ donde $a,b,c$ son enteros. Espectáculo $a=b=c=0$

¿Puedo usar la aritmética modular?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Si es así, a continuación, $\rm\:x = \sqrt[3]{2}\:$ sería una raíz de $\rm\:f = a+b\:x+c\:x^2\:$$\rm\: g = x^3-2\:$, por lo que también la raíz de su mcd $\rm = e f + h g\:$ (por Bezout), contra $\rm\:x^3-2\:$ es irreducible sobre $\rm\:\mathbb Q\:$ por la raíz racional de la prueba.

Alternativamente, si $\rm\:w = \sqrt[3]{2}\:$ es un irracional de la raíz de una ecuación cuadrática entonces existe una conjugación automorphism $\rm\:x\mapsto x'\:$ $\rm\mathbb Q(w)\:$ con el campo fijo $\rm \mathbb Q,\:$, de modo de tomar la norma $\rm\:xx'$ $\rm\:w^3 = 2\:$ rendimientos $\rm\:(ww')^3 = 4\:$ $\rm\:ww'\in \mathbb Q,\:$ contradicción.

Answer 2

Empezar con $b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} = -a$. Cubo de esta relación para encontrar otro ecuación de la forma $B \sqrt[3]{2} + C \sqrt[3]{4} = -A$ racionales a, B, C. la Eliminación de la raíz cúbica de 4 a partir de estas ecuaciones se dirá que la raíz cúbica de 2 es racional. Esta contradicción muestra que $a = b = c = 0$.

Answer 3

usted necesita por lo menos 3 ecuaciones para resolver 3 variables