Es el $k$th de Fibonacci del conejo joven o adulto?

Question

Considerar el conejo de Fibonacci problema. Empezamos con un conejo joven pareja. En cada paso, conejo joven pareja crece para conejos adultos y adulto conejo parejas de dar a luz una pareja de jóvenes. Si denotamos A para una pareja de adultos y y de una joven pareja, lo hacemos de forma iterativa A$\to$Ay, y$\to$A y la secuencia es :

y
A
Ay
AyA
AyAAy
AyAAyAyA
AyAAyAyAAyAAy
AyAAyAyAAyAAyAyAAyAyA
AyAAyAyAAyAAyAyAAyAyAAyAAyAyAAyAAy
AyAAyAyAAyAAyAyAAyAyAAyAAyAyAAyAAyAyAAyAyAAyAAyAyAAyAyA
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Muy graciosamente, a excepción del primero, y, si el $k$th pareja de adultos (resp. jóvenes), se va a la estancia de adultos (resp. jóvenes) para siempre (despreciar el cambio debido a la A$\to$Ay ).

Por ahora, teniendo este hecho empíricamente es suficiente para mí. Mi pregunta es: ¿hay una manera sencilla de saber si el $k$th par de la secuencia, si es que existe, es una pareja de adultos o una pareja joven, sin iterar de nuevo toda la secuencia ?

Gracias.

Answer 1

Este OEIS entrada da la fórmula* $$ r_k = \lfloor(k+1)\phi\rfloor-\lfloor k\phi\rfloor - 1 $$ donde $\phi = \frac{\sqrt 5 - 1}{2}$ es la proporción áurea. Para traducir a su idioma, $1$ en la OEIS secuencia significa Ay $0$ y. El primer A corresponde a $r_1$.

*La fórmula como se indica en la OEIS no tiene la $-1$ plazo en la final, y los rendimientos de $1$$2$, mientras que la secuencia ha $0$$1$. Alternativamente, uno podría haber intercambiado $\phi$ $\phi' = \frac1\phi = \phi-1$ en lugar de anexar $-1$.