$f(x) = \sin x $ si $x$ es racional y $f(x) = x$ si $x$ es irracional.

Question

Una función $f$ se define en $[0,\pi/2]$ por $$f(x) = \begin{cases} \sin x, & x\ \text{is rational},\\ x, & x\ \text{is irrational} \end{cases}$$

Entonces para encontrar la integral superior y la integral inferior y por lo tanto para demostrar que la función no es integrable en $[0, \pi/2]$ .

Me resulta difícil elegir una partición que facilite el cálculo de la suma superior e inferior.

Answer 1

Esto es lo que yo haría: Generalizaría el problema. La tensión real en este problema es que la función imita una función en un conjunto denso y una función completamente diferente en otro conjunto denso. Por lo tanto, estoy pensando que queremos demostrar lo siguiente:

Supongamos que $f$ y $g$ son integrables de Riemann en un intervalo $I$ y $f(x) = g(x)$ para todos $x \in D \subseteq I$ donde $D$ es denso en $I$ . Entonces $\int_I f = \int_I g$ .

Podríamos usar esto para demostrar que la función anterior no es integrable de Riemann, ya que la función anterior es igual a ambas $x$ y $\sin(x)$ en subconjuntos densos de $[0, \pi/2]$ por lo que si $f$ fuera integrable, su integral debería ser igual a las integrales definidas de ambos $x$ y $\sin(x)$ lo cual es imposible ya que las integrales no son iguales. Sin embargo, para demostrar que esto es cierto, es más fácil utilizar el álgebra de integrales para demostrar una proposición equivalente, aparentemente más débil:

Supongamos que $f$ es integrable de Riemann en un intervalo $I$ y $f(x) = 0$ para todos $x \in D \subseteq I$ donde $D$ es denso en $I$ . Entonces $\int_I f = 0$ .

Antes de demostrar la proposición anterior, recordemos la definición de integrabilidad de Riemann de $f$ que $U(f) = L(f)$ . Recordemos además que $U(f)$ es el ínfimo de $U(f, P)$ sobre todas las particiones $P$ del intervalo, donde $U(f, P)$ es la suma superior de $f$ en $P$ . Del mismo modo, $L(f)$ es la suma de $L(f, P)$ sobre particiones $P$ donde $L(f, P)$ es la suma inferior de $f$ en $P$ . Definimos $\int_I f := U(f) = L(f)$ .

Ahora, demostrar la proposición es sencillo. Consideremos cualquier partición $P$ de $I$ . En cualquier parte de $P$ debe contener un elemento de $D$ ya que $D$ es denso en $I$ y cada parte tiene un interior no vacío. Por lo tanto, en cada parte, hay un punto en el que la función $f$ mapas a $0$ . Por lo tanto, el supremum de $f$ sobre cada parte en $P$ debe ser como mínimo $0$ demostrando $U(f, P) \ge 0$ para todos $P$ . Del mismo modo $L(f, P) \le 0$ para todos $P$ . Si se toman los mínimos y los máximos, se obtiene $$0 \ge L(f) = U(f) \ge 0 \implies \int_I f = 0.$$ QED