Compruebe que $\binom{n+1}{4} = \frac{\left(\substack{\binom{n}{2}\\{\displaystyle2}}\right)}{3}$ $n \geq 4$

Question

Verificar que para $n \geq 4$ $$\dbinom{n+1}{4} = \frac{\left(\substack{\binom{n}{2}\\{\displaystyle2}}\right)}{3}$$

Ahora una combinatoric argumento de la anterior.

En primer lugar, por comprobar qué significa verificación para algún n > 3? si es así, entonces n = 4 da a ambos lados de valor 5. He tratado de expansión de ambos lados, y sólo consigue sucio, pero estoy seguro de que estaría tratando de demostrar?

I cant bastante seguir adelante con esto, que me han dicho que $\left(\substack{\binom{n}{2}\\{\displaystyle2}}\right)$ es el número de maneras de elegir 2 pares de objetos de n objetos. mi razonamiento para esto es que $\dbinom{n}{2}$ es el número de maneras de elegir 2 objetos de n y, por tanto, $\left(\substack{\binom{n}{2}\\{\displaystyle2}}\right)$ es el número de maneras de elegir 2 de estas maneras... Lo que yo estoy luchando por hacer es entender cómo los tres entra en ella.

Answer 1

"Comprobar" significaría verificar de manera algebraica (con fórmulas como $\binom{n+1}{4}=\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}$. No es tan difícil si sólo considerar el factorizations de cada lado. Sin embargo, no es un buen argumento combinatorio. $\left(\substack{{\binom{n}{2}}\\{\displaystyle 2}}\right)$ es el número de formas de seleccionar dos pares de elementos de un conjunto de $n$; podemos combinar estos pares, y si un elemento es común a ambas parejas, y luego tratar de una de las instancias del elemento como un nuevo $(n+1)$-st elemento. Esta cuenta el número de formas de seleccionar 4 elementos de un conjunto de $n+1$. Sin embargo, tenga en cuenta que todas las formas de seleccionar 4 se cuentan exactamente 3 veces, así que usted debe dividir por 3 para obtener la igualdad que se desee.

Answer 2

Para verificar:

$${n\choose2} = \frac{n(n-1)}{2}$$

$${\frac{n(n-1)}{2}\choose2} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}.(\frac{n(n-1)}{2}-1)}{2}$$

$${\frac{n(n-1)}{2}\choose2} = \frac{n(n-1).(n^2-n-2)}{8} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8}\tag1 - RHS$$

$$ {(n+1)\choose4} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4!} = \frac{RHS}{3}$$

De ahí resultó.

Answer 3

El uso de \begin{align} \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \end{align} entonces \begin{align} \frac{1}{3} \, \binom{\binom{n}{2}}{2} &= \frac{1}{2} \binom{n}{2} \, \left(\frac{n}{2} - 1\right) \\ &= \frac{n(n-1)}{4!} \left( n(n-1)-2 \right) = \frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4!} \\ &= \binom{n+1}{4}. \end{align}

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En cuanto a la modificación de los componentes de la cuestión: los comentarios parecen ser útiles

Answer 4

Manipulación algebraica es realmente no es tan malo. $\binom{n}{2}=n(n-1)/2$, por lo que $$\binom{\binom{n}{2}}{2}=\binom{n(n-1)/2}{2}=(n(n-1)/2)(n(n-1)/2-1)/6=n(n-1)(n^2-n-2)/24=n(n-1)(n+1)(n-2)/24=(n+1)!/4!(n-3)!=\binom{n+1}{4}$$