Resoluciones de bimodules como $R^e$-módulos.

Question

Deje $k$ ser un anillo conmutativo, vamos a $R$ $k$- álgebra, una $R$-Bimodule $M$ $R$ $k$- módulo con dos acciones de $R$$M$, a la izquierda y a la derecha, el ejemplo clásico de este ser $R$ propio con la izquierda y la derecha multiplicaciones como las acciones. Un $R$-Bimodule $M$ puede considerarse también una izquierda $R^e = R \otimes R^{op}$-módulo.

Ahora, considere el $R$-Bimodule $R$, de acuerdo a este texto que estoy leyendo en Hochschild (co)homología de la $k$-módulo de $R \otimes R$ $R$- Bimodule por la multiplicación por la izquierda y la derecha, hay un surjective mapa de $R \otimes R \rightarrow R$ de bimodules y una resolución de $R$ $R$- Bimodule:

$\cdots \rightarrow R \otimes R \otimes R \otimes R \rightarrow R \otimes R \otimes R \rightarrow R \otimes R \rightarrow R$.

Sólo dos cosas que el autor mencionado, y tenía curiosidad acerca de:

1 - El bimodule $R \otimes R$ se convierte en una izquierda $R^e = R \otimes R^{op}$-módulo de es $R \otimes R^{op}$ y es gratis.

2 - Si $R$ es gratis (o proyectiva) como $k$-módulo, a continuación, $R \otimes R^{\otimes n} \otimes R$ es gratis (o proyectiva).

Yo quería saber:

¿Por qué es $R \otimes R$ (y el posterior de los módulos de $R \otimes R^{\otimes n} \otimes R$) libre (o proyectiva)? Es que el caso, incluso si $R$ no es libre (o proyectiva)?

Answer 1

Supongamos $R$ $k$- álgebra, con $k$ un anillo conmutativo.

• Si $M$ $k$- módulo, podemos construir la $k$-módulo de $R\otimes_kM\otimes_kR$, la cual es automáticamente una $R$-bimodule o, de manera equivalente, una $R^e$-módulo.

  Si $N$ $R$- bimodule, hay un isomorfismo canónico $$\hom_{R^e}(R\otimes_kM\otimes_kR, N)\cong\hom_k(M,\bar N)$$ with $\bar N$ the underlying $k$-module of $N$. Since going from $N$ to $\bar N$ is an exact functor, we thus see that the functor $\hom_{R^e}(R\otimes_kM\otimes_kR,\mathord-)$ is exact if $\hom_k(M,\mathord-)$ is exact, that is, $R\otimes_kM\otimes_kR$ is a projective $R$-bimodule if $M$ is a projective $k$-module.

• Si $M$ $N$ son proyectivos $k$-módulos, a continuación, $M\otimes_kN$ es proyectiva. De hecho, no existe $k$-módulos de $M'$ $N'$ tal que $M\oplus M'$ $N\oplus N'$ son gratuitas. Uno fácilmente se comprueba que el producto tensor de libre módulos es gratuito, por lo que el $(M\oplus M')\otimes_k(N\oplus N')$ es proyectiva, y la $M\otimes_kN$ es un sumando directo de esta (debido a $\otimes$ es un aditivo functor).

• El uso de este último hecho, podemos ver que si $R$ $k$- proyectiva, a continuación, $R^{\otimes n}$ $k$- proyectiva para todos los $n\geq1$, y, a continuación, la primera viñeta anterior implica que $R\otimes R^{\otimes n}\otimes R$ es un proyectiva $R$-módulo.

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Supongamos ahora $R$ $k$- álgebra, con $k$conmutativa, que tenemos un morfismos $\epsilon:R\to k$ $k$- álgebras, y supongamos que $R$ no $k$-proyectiva. Existe entonces una breve secuencia exacta $$0\to M'\to M\to M''\to0\tag{$\estrellas$}$$ of $r$-modules such that the associated sequence $$0\to\hom_k(R,M')\to\hom_k(R,M)\to\hom_k(R,M'')\to0\tag{$\clubsuit$}$$ es no exacta.

Ahora cada una de las $k$-módulo de $N$ puede ser visto como un $R$-bimodule, la definición de la izquierda y la derecha de las acciones de $R$ $N$ por $$r\cdot n\cdot s=\epsilon(rs)n, \qquad\forall r,s\in R,\quad\forall n\in N.$$ This operation of turning $k$-modules into $R$-bimodules is a functor which is obviously exact (because it does not change the underlying abelian groups, say) It allows us to view the short exact seequence $(\estrella)$ as a sequence of $R$-bimodules.

Ahora, considere el $R$-bimodule $R\otimes R\otimes R$. Para cada $R$-bimodule $Q$ tenemos $\hom_{R^e}(R\otimes R\otimes R,Q)\cong\hom_k(R,Q)$, como se observó antes. De ello se sigue que si aplicamos el functor $\hom_{R^e}(R\otimes R\otimes R,\mathord-)$ a la corta secuencia exacta $(\star)$ obtenemos exactamente la misma secuencia $(\clubsuit)$, que es no exacta. De ello se desprende que $R\otimes R\otimes R$ no es un proyectiva bimodule

Para un ejemplo concreto, tomar $k=\mathbb Z$, $R=\mathbb Z\oplus \mathbb Z/2\mathbb Z$ con la multiplicación dada por $(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc)$$\epsilon:(a,n)\in R\mapsto a\in k$.