Encontrar el mínimo valor de $x^2+y^2$ donde $x,y$ son enteros no negativos y $x+y$ es un entero impar positivo dado

Question

Deje $k$ ser un fijo positivo entero impar. Encontrar el mínimo valor de $x^2+y^2$ donde $x,y$ son enteros no negativos y $x+y=k$

Mis planteamientos:

1. Desde $k$ es impar, $x$ $y$ tienen distinta paridad. Considero, $k=2m+1$, por lo que el $x+y=2m+1$. Considero, también, $x$ a ser incluso y $y$ a un ser extraño. Por eso, $2p+2q+1=2m+1$. También, $4p^2+4q^2+4q+1+8pq+4p=4m^2+4m+1$ que al parecer no me llevan a ninguna parte.

2. $x+y=k$. Entonces $x^2+y^2+2xy=k^2$. Ahora estoy atascado!
   Por favor, ayuda!

Answer 1

Desde $$ x^2+y^2=\frac12\left((x+y)^2+(x-y)^2\right) $$ el mínimo viene al $|x-y|$ es el más pequeño, que es $1$ si $x+y$ es impar. Por lo tanto, el mínimo es de $$ \frac12\left((x+y)^2+1\right) $$

Answer 2

Asumir wlog que $x < y$ (que no puede ser igual desde $k$ es impar). Comparemos $x^2 + y^2$$(x + 1)^2 + (y-1)^2$. $$ (x + 1)^2 + (y-1)^2 - (x^2 + y^2) = 2x -2y+ 2 $$ Desde $x < y$, el resultado no es positivo, y mientras $x \neq y-1$, es estrictamente negativo, mening, el valor neto ha disminuido. Así que mientras a $x \neq y - 1$, usted puede hacer estrictamente mejor por el aumento de $x$ y la disminución de $y$. Por lo tanto, $x = y - 1$ (o $x = y + 1$) es el valor óptimo para minimizar la suma de los cuadrados.

Answer 3

Comenzando con $x<y$$y\neq x+1$$\left(x+1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}<x^{2}+y^{2}$, por lo que, a continuación, par $\left(x,y\right)$ no va a proporcionar el valor mínimo (par $\left(x+1,y-1\right)$ lo hace "mejor"). Esta muestra que necesitamos $y=x+1$.

Si $k=2n+1$ $x=n$ $y=n+1$ dar el valor mínimo $n^{2}+\left(n+1\right)^{2}=\frac{1}{2}\left(k^{2}+1\right)$

En situaciones como esta es una buena costumbre para recoger una 'pequeña' una (p.e. $k=7$) y para investigar a los candidatos $0+7$, $1+6$,... et cetera. Los patrones de mostrar que son útiles.