Borel Medidas: Átomos vs Punto de Masas

Question

Vamos a una medida de $\mu:\Sigma\to\mathbb{R}_+$.

Llamar a un medibles $A\in\Sigma$ un átomo de si: $$\mu(A)>0:\quad\mu(E)<\mu(A)\implies\mu(E)=0\quad(E\subseteq A)$$ y un singleton $\{a\}\in\Sigma$ un punto de masa si: $$\mu(\{a\})>0$$

Primero de todo, para singletons la idea de los átomos y de punto de masas coinciden.

Siguiente, por sigma-finito espacios de la definición de un átomo es equivalente a: $$\mu(A)>0:\quad\mu(A\cap E)=0\lor\mu(A\cap E^c)=0$$ (Para más detalles ver: Medida de los Átomos: Definición?)

Que es cada átomo se divide en pequeños átomos, por lo que uno podría intentar aplicar el lema de Zorn aquí.

Ahora, dado un sigma-finito medida de Borel $\lambda:\mathcal{B}(\Omega)\to\mathbb{R}_+$.

Cada átomo de surgir a partir de un punto de masa?

Answer 1

El ejemplo que dan es en realidad un $\sigma$-finito medida de Borel. Equipar $[0,1]$ con el cofinite topología (en el que un conjunto es abierto si es vacío o su complemento es finito). Entonces su $\Sigma$ es el Borel $\sigma$-álgebra de la cofinite topología (es un buen ejercicio para comprobar esto).

Sin embargo, existe el siguiente resultado:

La proposición. Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico separable, $\Sigma$ su Borel $\sigma$-álgebra, y $\mu$ $\sigma$- finito medida en $\Sigma$. A continuación, cada átomo de $\mu$ es la unión de un punto de masa y un conjunto null.

Prueba. Deje $C$ ser una contables subconjunto denso de $X$. Para cada entero$k\in\mathbb{N}$,$\bigcup_{x \in C} B(x, 1/k) = X$. Por lo tanto $\bigcup_{x \in C} (A \cap B(x,1/k)) = A$. Así contables aditividad, existe $x_k \in C$ tal que $\mu(A \cap B(x_k, 1/k)) > 0$. Desde $A$ es un átomo, $\mu(A \setminus B(x_k, 1/k)) = 0$. Deje $S = \bigcap_k B(x_k, 1/k)$.
Ya que para cada $k$, $S$ está contenida en una bola de radio $1/k$, $S$ contiene más de un punto.
Por otro lado, por De Morgan de la ley y contables de aditividad, $$\mu(A \setminus S) = \mu\left(\bigcup_k A \setminus B(x_k, 1/k)\right) = 0.$$ Desde $\mu(A\cap S)=\mu(A) > 0$, $A\cap S$ no está vacío, por lo $A\cap S$ es un singleton.
Por lo tanto $A\cap S$ es un punto de masa y $A \setminus S$ un conjunto null. $\Box$

Así que en este caso, efectivamente, la única átomos son masas puntuales.

Tenga en cuenta que no necesitamos suponer $X$ fue completa.

Para los no-separables métrica espacios, las cosas son más difíciles. Para innumerables espacios discretos (que, sin duda, métrica), la cuestión de si puede ser no trivial de los átomos es la relativa a si la cardinalidad de a $X$ es un cardinal medible, y esas preguntas tienden a ser independiente de los axiomas de ZFC. Le pregunté a una nueva pregunta al respecto: la Consistencia de la fuerza de 0-1 con valores de medidas de Borel.

Answer 2

No, en general, esto está mal!

Considerar el álgebra de Borel generado por el cofinite topología: $$\Sigma:=\{E\subseteq[0,1]:\#E\leq\aleph_0\lor\#E^c\leq\aleph_0\}=\sigma(\mathcal{T}_{cofinite})$$ (Ver el hilo en: Cofinite Topología: Álgebra de Borel)
y lo finito medida de Borel: $$\lambda(\#E\leq\aleph_0):=0$$ $$\lambda(\#E^c\leq\aleph_0):=1$$ A continuación, los átomos son todos los uncountables pero no singleton es un punto de masa.