Pregunta sobre plano quinto

Question

Vamos canónica de la curva de $C$ $\subset$ $\mathbb{P}^5$ la mentira en el Veronese de la superficie. Cómo ver que $C$ es un buen avión quintic?

Answer 1

Este es, de hecho, incluido en el contenido de Enriques-Petri teorema, que se puede encontrar en "los Principios de la geometría Algebraica" por Griffiths-Harris, página 535. Su prueba es aquí (en caso de tener acceso a SpringerLink)

Answer 2

Esto tiene que ver con un teorema de Enriques y de Petri. Para un nonhyperelliptic canónica de la curva de $C$ de género $g\geq 3$, hay dos posibilidades: su ideal gavilla puede o no puede ser generado por quadrics, y el teorema dice que la segunda posibilidad se produce si y sólo si $C$ está contenida en una superficie de (mínimo) grado $g-2$, si y sólo si $C$ es trigonal o (para $g=6$) isomorfo a un suave plano quintic.

Ahora, nuestra $C$ está incrustado en la Veronese superficie (de grado $4=g-2$), y el gonality de $C$$[(6+3)/2]=4\neq 3$, lo $C$ es isomorfo a un suave plano quintic.

Usted puede buscar en ACGH la Geometría de las Curvas Algebraicas (Volumen I, alrededor de p. 244, sino también p. 209) para los detalles.

Answer 3

Si es una Veronese superficie, Veronese en la incrustación de lo exhibe como isomorfo a un suave plano de la curva. Ya que tiene un grado 10, no podemos simplemente a la conclusión de que es la imagen de un suave plano quintic?