Normalización de la función propia de la posición física

Question

Sabemos que la función de Dirac $$\delta(a)=\lim_{a \rightarrow 0} \delta_{a}(x)$$ puede escribirse como una gaussiana infinitesimal: $$ \delta_{a}(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}e^{-x^2/2a^2}$$

Nuestro profesor nos dijo que para cualquier valor $a>0$ la función propia de posición física es $$\psi_{x_0}(x)\cong N_1\delta_a(x-x_0).$$

¿Cómo puedo demostrar que $\psi_{x_0}$ ¿es una función propia de la posición física?

Answer 1

La triste realidad es que cualquier $\psi_{x_o}$ no es realmente una función propia de posición. Intenta actuar sobre ella con el operador de posición. Simplemente no se obtiene $x_o$ veces la función de onda.

Dicho esto, hay formas importantes y significativas en las que es casi una eigenfunción de posición. Obsérvese que dicha gaussiana es extremadamente estrecha para valores muy pequeños de $a$ . Así, se puede aproximar la multiplicación por $x$ (que es la acción del operador de posición en la base de posición) mediante la multiplicación por $x_o$ . En los únicos lugares que importa (donde la función de onda no es excesivamente pequeña), la posición es casi $x_o$ Así que no hace mucho daño fingir que realmente lo es. $x_o$ .

De hecho, cuando tomamos el límite $a \to 0$ es un resultado exacto. El problema es que el estado se vuelve anormalizable en este caso. Claro, es una función delta, por lo que su área sigue siendo sólo una, pero el área bajo su cuadrado absoluto -lo que realmente nos interesa- es infinita. Sin embargo, esto no debería molestarte demasiado, porque estos verdaderos estados propios de posición (funciones delta en la base de posición) forman una base completa para el espacio de las ondas físicas. Cualquier estado de este tipo $\psi(x)$ puede representarse como una superposición de estados propios de posición:

$$ \psi(x) = \int dx'\, \psi(x') \delta(x-x') = \int dx'\, \psi(x')\psi_{x}(x')$$

¿Dónde? $\psi_x(x')$ representa el verdadero estado propio de la posición (no normalizable) en la posición x.

Answer 2

$\psi_{x_0}$ es la función de onda del estado básico de un potencial armónico centrado en $x_0$ con una curvatura elegida para que coincida con $a=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$ . Dado que los potenciales armónicos (aproximadamente) se dan con frecuencia en los sistemas reales, esto es "físico".